Τριγωνομετρικά αθροίσματα!

Συντονιστής: nsmavrogiannis

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6267
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Τριγωνομετρικά αθροίσματα!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Δεκ 25, 2019 7:43 pm

Πέτυχα τις παρακάτω ισότητες, οι οποίες έχουν το άρωμα του Ramanujan.
Δεν επιχείρησα να τις αποδείξω, οπότε τις παραδίδω στο κοινό του :santalogo: .

\displaystyle{\color{red}\boxed{\bf 1}} : \displaystyle{  \quad \frac{\sin (2\pi /7)}{\sin ^2 (3\pi /7)}-\frac{\sin (\pi /7)}{\sin ^2 (2\pi /7)}+\frac{\sin (3\pi /7)}{\sin ^2 (\pi /7)}=2\sqrt {7}}

\displaystyle{\color{red}\boxed{\bf 2}} : \displaystyle{  \quad \frac{\sin ^2(3\pi /7)}{\sin  (2\pi /7)}-\frac{\sin ^2(2\pi /7)}{\sin  (\pi /7)}+\frac{\sin ^2(\pi /7)}{\sin (3\pi /7)}=0}

\displaystyle{\color{red}\boxed{\bf 3}} : \displaystyle{  \quad \frac{\sin (2\pi /7)}{\sin ^4 (\pi /7)}-\frac{\sin (\pi /7)}{\sin ^4 (3\pi /7)}+\frac{\sin (3\pi /7)}{\sin ^4 (2\pi /7)}=\frac{64}{7}\sqrt {7}}


Μάγκος Θάνος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4675
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Τριγωνομετρικά αθροίσματα!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Δεκ 27, 2019 9:08 pm

Καλησπέρα σε όλους. Θα επιχειρήσω μια προσέγγιση στη δεύτερη ισότητα του Θάνου. Φαντάζομαι με αντίστοιχο τρόπο θα αντιμετωπίζονται και οι άλλες. Υποθέτω ότι οι πωρωμένοι Ινδοί Τριγωνομέτρες θα έχουν άλλες τεχνικές, ίσως ταχύτερες.
Η σύνθεση που έκανα ήταν αποτέλεσμα αρκετών διαφορετικών δοκιμών.

27-12-2019 Τριγωνομετρία.png
27-12-2019 Τριγωνομετρία.png (29.47 KiB) Προβλήθηκε 863 φορές

Στο ABC πρέπει a > 1.

Είναι  \displaystyle \cos \frac{\pi }{7} = \frac{a}{{2\left( {a - 1} \right)}},\;\;\;\cos \frac{{2\pi }}{7} = \frac{{a - 1}}{2},\;\;\;\cos \frac{{3\pi }}{7} = \frac{1}{{2a}}


Από τους τύπους διπλασίου τόξου ή από τον Νόμο Ημιτόνων στα ABD, ABC, BCD αντίστοιχα έχουμε:

 \displaystyle \frac{{\sin \frac{{2\pi }}{7}}}{{\sin \frac{\pi }{7}}} = \frac{a}{{a - 1}} = 2\cos \frac{\pi }{7},\;\;\;\frac{{\sin \frac{\pi }{7}}}{{\sin \frac{{3\pi }}{7}}} = \frac{1}{a} = 2\cos \frac{{3\pi }}{7},\;\;\;\frac{{\sin \frac{{3\pi }}{7}}}{{\sin \frac{{2\pi }}{7}}} = \frac{{a - 1}}{1} = 2\cos \frac{{2\pi }}{7}

Οπότε  \displaystyle B = \frac{{{{\sin }^2}\frac{{3\pi }}{7}}}{{\sin \frac{{2\pi }}{7}}} - \frac{{{{\sin }^2}\frac{{2\pi }}{7}}}{{\sin \frac{\pi }{7}}} + \frac{{{{\sin }^2}\frac{\pi }{7}}}{{\sin \frac{{3\pi }}{7}}} = 2\sin \frac{{3\pi }}{7}\cos \frac{{2\pi }}{7} - 2\sin \frac{{2\pi }}{7}\cos \frac{\pi }{7} + 2\sin \frac{\pi }{7}\cos \frac{{3\pi }}{7}

 \displaystyle  = \sin \frac{{5\pi }}{7} + \sin \frac{\pi }{7} - \sin \frac{{3\pi }}{7} - \sin \frac{\pi }{7} + \sin \frac{{4\pi }}{7} + \sin \left( { - \frac{{2\pi }}{7}} \right) = 0 .


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4675
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Τριγωνομετρικά αθροίσματα!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Δεκ 29, 2019 9:06 pm

matha έγραψε:
Τετ Δεκ 25, 2019 7:43 pm
Πέτυχα τις παρακάτω ισότητες, οι οποίες έχουν το άρωμα του Ramanujan.
Δεν επιχείρησα να τις αποδείξω, οπότε τις παραδίδω στο κοινό του :santalogo: .

\displaystyle{\color{red}\boxed{\bf 1}} : \displaystyle{  \quad \frac{\sin (2\pi /7)}{\sin ^2 (3\pi /7)}-\frac{\sin (\pi /7)}{\sin ^2 (2\pi /7)}+\frac{\sin (3\pi /7)}{\sin ^2 (\pi /7)}=2\sqrt {7}}
Δεν ξέρω τι άρωμα φορά ο Ramanujan, αλλά ομολογώ ότι η πρώτη με βασάνισε πολύ.
Ομολογώ ότι αναζήτησα και χρησιμοποίησα δύο τύπους στο διαδίκτυο. (Δείτε τις παραπομπές).
Επίσης άλλαξα ένα πρόσημο. Ας ελέγξει ο Θάνος στην πηγή ή όποιος θέλει (και αντέχει) να κάνει επαλήθευση.

ΝΕΑ ΕΚΦΩΝΗΣΗ: Να δειχθεί ότι:

Α.  \displaystyle \frac{{\sin \frac{{2\pi }}{7}}}{{{{\sin }^2}\frac{{3\pi }}{7}}} + \frac{{\sin \frac{\pi }{7}}}{{{{\sin }^2}\frac{{2\pi }}{7}}} + \frac{{\sin \frac{{3\pi }}{7}}}{{{{\sin }^2}\frac{\pi }{7}}} = 2\sqrt 7 Έβαλα (+) αντί για (-) στο δεύτερο κλάσμα.


Είναι  \displaystyle \sin \frac{\pi }{7} \cdot \sin \frac{{2\pi }}{7} \cdot \sin \frac{{3\pi }}{7} = \frac{{\sqrt 7 }}{8} (1) (Δείτε ΕΔΩ)

Είναι  \displaystyle si{n^2}\frac{{2\pi }}{7} + si{n^2}\frac{{3\pi }}{7} - si{n^2}\frac{\pi }{7} = \frac{7}{4} (2) (Δείτε ΕΔΩ)

Είναι  \displaystyle sin\frac{{2\pi }}{7}sin\frac{{3\pi }}{7} - sin\frac{\pi }{7}sin\frac{{3\pi }}{7} - sin\frac{\pi }{7}sin\frac{{2\pi }}{7} = 0 (3) (Εύκολα αποδεικνύεται με τύπους διπλασίου τόξου).

Οπότε,
 \displaystyle (3) \Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{7}sin\frac{{2\pi }}{7}sin\frac{{3\pi }}{7} = \left( {sin\frac{{3\pi }}{7} + sin\frac{{2\pi }}{7}} \right)si{n^2}\frac{\pi }{7}  \displaystyle  \Leftrightarrow si{n^2}\frac{\pi }{7} = \frac{{\sqrt 7 }}{{8\left( {sin\frac{{3\pi }}{7} + sin\frac{{2\pi }}{7}} \right)}} .

Ομοίως  \displaystyle si{n^2}\frac{{2\pi }}{7} = \frac{{\sqrt 7 }}{{8\left( {sin\frac{{3\pi }}{7} - sin\frac{\pi }{7}} \right)}} και  \displaystyle si{n^2}\frac{{3\pi }}{7} = \frac{{\sqrt 7 }}{{8\left( {sin\frac{{2\pi }}{7} - sin\frac{\pi }{7}} \right)}}

 \displaystyle A = \frac{{\sin \frac{{2\pi }}{7}}}{{{{\sin }^2}\frac{{3\pi }}{7}}} + \frac{{\sin \frac{\pi }{7}}}{{{{\sin }^2}\frac{{2\pi }}{7}}} + \frac{{\sin \frac{{3\pi }}{7}}}{{{{\sin }^2}\frac{\pi }{7}}} =

 \displaystyle  = \frac{8}{{\sqrt 7 }}\left( {\sin \frac{{2\pi }}{7}\left( {sin\frac{{2\pi }}{7} - sin\frac{\pi }{7}} \right) + \sin \frac{\pi }{7}\left( {sin\frac{{3\pi }}{7} - sin\frac{\pi }{7}} \right) + \sin \frac{{3\pi }}{7}\left( {sin\frac{{3\pi }}{7} + sin\frac{{2\pi }}{7}} \right)} \right) =

 \displaystyle  = \frac{4}{{\sqrt 7 }}\left( {2si{n^2}\frac{{2\pi }}{7} - 2\sin \frac{{2\pi }}{7}sin\frac{\pi }{7} + 2\sin \frac{\pi }{7}sin\frac{{3\pi }}{7} - 2si{n^2}\frac{\pi }{7} + 2{{\sin }^2}\frac{{3\pi }}{7} + 2sin\frac{{2\pi }}{7}sin\frac{{3\pi }}{7}} \right) =

 \displaystyle  = \frac{4}{{\sqrt 7 }}\left( {2si{n^2}\frac{{2\pi }}{7} - \cos \frac{\pi }{7} + \cos \frac{{3\pi }}{7} + \cos \frac{{2\pi }}{7} - \cos \frac{{4\pi }}{7} - 2si{n^2}\frac{\pi }{7} + 2{{\sin }^2}\frac{{3\pi }}{7} + \cos \frac{\pi }{7} - \cos \frac{{5\pi }}{7}} \right) =

 \displaystyle  = \frac{4}{{\sqrt 7 }}\left( {2si{n^2}\frac{\pi }{7} - 2si{n^2}\frac{\pi }{7} + 2{{\sin }^2}\frac{{3\pi }}{7}} \right) = \frac{4}{{\sqrt 7 }} \cdot \frac{{2 \cdot 7}}{4} = 2\sqrt 7 .

edit: Υπάρχει λάθος πρόσημο στον 2ο τύπο. Δείτε παρακάτω τη διόρθωση.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Δευ Δεκ 30, 2019 7:21 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6267
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Τριγωνομετρικά αθροίσματα!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Δευ Δεκ 30, 2019 12:48 pm

Γιώργο, ίσως έχεις δίκιο (δεν έλεγξα την απόδειξή σου). Πάντως, η αρχική εκφώνηση είναι όπως την έδωσα.
Συνημμένα
trig1.png
trig1.png (6.17 KiB) Προβλήθηκε 758 φορές


Μάγκος Θάνος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3213
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τριγωνομετρικά αθροίσματα!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Δεκ 30, 2019 3:06 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Κυρ Δεκ 29, 2019 9:06 pm

Είναι  \displaystyle si{n^2}\frac{{2\pi }}{7} + si{n^2}\frac{{3\pi }}{7} - si{n^2}\frac{\pi }{7} = \frac{7}{4} (2) (Δείτε ΕΔΩ)
Δεν ισχύει με τίποτα.

Συμπλήρωμα.
Εκείνο που ισχύει είναι

 \displaystyle si{n^2}\frac{{2\pi }}{7} + si{n^2}\frac{{3\pi }}{7} +si{n^2}\frac{\pi }{7} = \frac{7}{4}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4675
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Τριγωνομετρικά αθροίσματα!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Δεκ 30, 2019 7:17 pm

Καλησπέρα σε όλους και Καλή Χρονιά!

Ευχαριστώ τον Αχιλλέα, τον Γιώργο, τον Θάνο και τον Σταύρο που έψαξαν και εντόπισαν το σφάλμα που με βασάνισε για ώρα. Δεν είχα προσέξει ότι το ημίτονο ήταν σε τετράγωνο, οπότε ήταν απλώς  \displaystyle \left( sin\frac{8\pi}{7} \right )^2=\left( -sin\frac{\pi}{7} \right )^2=sin^2\frac{\pi}{7} με αποτέλεσμα να οδηγούμαι σε αδιέξοδα βήματα. Αν θέλει ο Αχιλλέας ας δώσει την πηγή στην οποία εντόπισε παρόμοιο θέμα.

Ξαναγράφω την παραπάνω προσέγγιση με τις διορθώσεις:


Α. Να αποδειχθεί ότι:  \displaystyle \frac{{\sin \frac{{2\pi }}{7}}}{{{{\sin }^2}\frac{{3\pi }}{7}}} - \frac{{\sin \frac{\pi }{7}}}{{{{\sin }^2}\frac{{2\pi }}{7}}} + \frac{{\sin \frac{{3\pi }}{7}}}{{{{\sin }^2}\frac{\pi }{7}}} = 2\sqrt 7


Είναι  \displaystyle \sin \frac{\pi }{7} \cdot \sin \frac{{2\pi }}{7} \cdot \sin \frac{{3\pi }}{7} = \frac{{\sqrt 7 }}{8}

Είναι  \displaystyle si{n^2}\frac{{2\pi }}{7} + si{n^2}\frac{{3\pi }}{7} + si{n^2}\frac{\pi }{7} = \frac{7}{4}

Είναι  \displaystyle sin\frac{{2\pi }}{7}sin\frac{{3\pi }}{7} - sin\frac{\pi }{7}sin\frac{{3\pi }}{7} - sin\frac{\pi }{7}sin\frac{{2\pi }}{7} = 0

 \displaystyle  \Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{7}sin\frac{{2\pi }}{7}sin\frac{{3\pi }}{7} = \left( {sin\frac{{3\pi }}{7} + sin\frac{{2\pi }}{7}} \right)si{n^2}\frac{\pi }{7}  \displaystyle  \Leftrightarrow si{n^2}\frac{\pi }{7} = \frac{{\sqrt 7 }}{{8\left( {sin\frac{{3\pi }}{7} + sin\frac{{2\pi }}{7}} \right)}} .

Ομοίως  \displaystyle si{n^2}\frac{{2\pi }}{7} = \frac{{\sqrt 7 }}{{8\left( {sin\frac{{3\pi }}{7} - sin\frac{\pi }{7}} \right)}} και  \displaystyle si{n^2}\frac{{3\pi }}{7} = \frac{{\sqrt 7 }}{{8\left( {sin\frac{{2\pi }}{7} - sin\frac{\pi }{7}} \right)}}

 \displaystyle A = \frac{{\sin \frac{{2\pi }}{7}}}{{{{\sin }^2}\frac{{3\pi }}{7}}} - \frac{{\sin \frac{\pi }{7}}}{{{{\sin }^2}\frac{{2\pi }}{7}}} + \frac{{\sin \frac{{3\pi }}{7}}}{{{{\sin }^2}\frac{\pi }{7}}} =

 \displaystyle  = \frac{8}{{\sqrt 7 }}\left( {\sin \frac{{2\pi }}{7}\left( {sin\frac{{2\pi }}{7} - sin\frac{\pi }{7}} \right) - \sin \frac{\pi }{7}\left( {sin\frac{{3\pi }}{7} - sin\frac{\pi }{7}} \right) + \sin \frac{{3\pi }}{7}\left( {sin\frac{{3\pi }}{7} + sin\frac{{2\pi }}{7}} \right)} \right) =

 \displaystyle  = \frac{4}{{\sqrt 7 }}\left( {2si{n^2}\frac{{2\pi }}{7} - 2\sin \frac{{2\pi }}{7}sin\frac{\pi }{7} - 2\sin \frac{\pi }{7}sin\frac{{3\pi }}{7} + 2si{n^2}\frac{\pi }{7} + 2{{\sin }^2}\frac{{3\pi }}{7} + 2sin\frac{{2\pi }}{7}sin\frac{{3\pi }}{7}} \right) =

 \displaystyle  = \frac{4}{{\sqrt 7 }}\left( {2si{n^2}\frac{{2\pi }}{7} - \cos \frac{\pi }{7} + \cos \frac{{3\pi }}{7} + \cos \frac{{2\pi }}{7} - \cos \frac{{4\pi }}{7} + 2si{n^2}\frac{\pi }{7} + 2{{\sin }^2}\frac{{3\pi }}{7} + \cos \frac{\pi }{7} - \cos \frac{{5\pi }}{7}} \right) =

 \displaystyle  = \frac{4}{{\sqrt 7 }}\left( {2si{n^2}\frac{\pi }{7} - 2si{n^2}\frac{\pi }{7} + 2{{\sin }^2}\frac{{3\pi }}{7}} \right) = \frac{4}{{\sqrt 7 }} \cdot \frac{{2 \cdot 7}}{4} = 2\sqrt 7 .


achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2754
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Τριγωνομετρικά αθροίσματα!

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τρί Δεκ 31, 2019 12:09 am

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Δευ Δεκ 30, 2019 7:17 pm
Καλησπέρα σε όλους και Καλή Χρονιά!

Ευχαριστώ τον Αχιλλέα, τον Γιώργο, τον Θάνο και τον Σταύρο που έψαξαν και εντόπισαν το σφάλμα που με βασάνισε για ώρα. Δεν είχα προσέξει ότι το ημίτονο ήταν σε τετράγωνο, οπότε ήταν απλώς  \displaystyle \left( sin\frac{8\pi}{7} \right )^2=\left( -sin\frac{\pi}{7} \right )^2=sin^2\frac{\pi}{7} με αποτέλεσμα να οδηγούμαι σε αδιέξοδα βήματα. Αν θέλει ο Αχιλλέας ας δώσει την πηγή στην οποία εντόπισε παρόμοιο θέμα.

...
Καλησπέρα και Χρόνια Πολλά!

Όπως είχαμε αναφέρει κι εδώ, από το πρόβλημα 230(a) του USSR Olympiad Problem Book, D.O. Shklarsky et.al., Dover, NY, 1993, οι

\sin^2\frac{\pi}{7}, \sin^2\frac{2\pi}{7}, \sin^2\frac{3\pi}{7},

είναι ρίζες του

64x^3-112x^2+56x-7=0,

οπότε

\displaystyle{\sin^2\frac{\pi}{7}+\sin^2\frac{2\pi}{7}+\sin^2\frac{3\pi}{7}=\dfrac{112}{64}=\dfrac{7}{4}},


Φιλικά,

Αχιλλέας


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες