Τριγωνομετρικά αθροίσματα!

#1

Πέτυχα τις παρακάτω ισότητες, οι οποίες έχουν το άρωμα του Ramanujan.
Δεν επιχείρησα να τις αποδείξω, οπότε τις παραδίδω στο κοινό του

.

$\displaystyle{\color{red}\boxed{\bf 1}}$ : $\displaystyle{ \quad \frac{\sin (2\pi /7)}{\sin ^2 (3\pi /7)}-\frac{\sin (\pi /7)}{\sin ^2 (2\pi /7)}+\frac{\sin (3\pi /7)}{\sin ^2 (\pi /7)}=2\sqrt {7}}$

$\displaystyle{\color{red}\boxed{\bf 2}}$ : $\displaystyle{ \quad \frac{\sin ^2(3\pi /7)}{\sin (2\pi /7)}-\frac{\sin ^2(2\pi /7)}{\sin (\pi /7)}+\frac{\sin ^2(\pi /7)}{\sin (3\pi /7)}=0}$

$\displaystyle{\color{red}\boxed{\bf 3}}$ : $\displaystyle{ \quad \frac{\sin (2\pi /7)}{\sin ^4 (\pi /7)}-\frac{\sin (\pi /7)}{\sin ^4 (3\pi /7)}+\frac{\sin (3\pi /7)}{\sin ^4 (2\pi /7)}=\frac{64}{7}\sqrt {7}}$

#2

Καλησπέρα σε όλους. Θα επιχειρήσω μια προσέγγιση στη δεύτερη ισότητα του Θάνου. Φαντάζομαι με αντίστοιχο τρόπο θα αντιμετωπίζονται και οι άλλες. Υποθέτω ότι οι πωρωμένοι Ινδοί Τριγωνομέτρες θα έχουν άλλες τεχνικές, ίσως ταχύτερες.
Η σύνθεση που έκανα ήταν αποτέλεσμα αρκετών διαφορετικών δοκιμών.

: 27-12-2019 Τριγωνομετρία.png (29.47 KiB) Προβλήθηκε 1613 φορές

Στο

πρέπει

.

Είναι $\displaystyle \cos \frac{\pi }{7} = \frac{a}{{2\left( {a - 1} \right)}},\;\;\;\cos \frac{{2\pi }}{7} = \frac{{a - 1}}{2},\;\;\;\cos \frac{{3\pi }}{7} = \frac{1}{{2a}}$

Από τους τύπους διπλασίου τόξου ή από τον Νόμο Ημιτόνων στα ABD, ABC, BCD

αντίστοιχα έχουμε:

$\displaystyle \frac{{\sin \frac{{2\pi }}{7}}}{{\sin \frac{\pi }{7}}} = \frac{a}{{a - 1}} = 2\cos \frac{\pi }{7},\;\;\;\frac{{\sin \frac{\pi }{7}}}{{\sin \frac{{3\pi }}{7}}} = \frac{1}{a} = 2\cos \frac{{3\pi }}{7},\;\;\;\frac{{\sin \frac{{3\pi }}{7}}}{{\sin \frac{{2\pi }}{7}}} = \frac{{a - 1}}{1} = 2\cos \frac{{2\pi }}{7}$

Οπότε $\displaystyle B = \frac{{{{\sin }^2}\frac{{3\pi }}{7}}}{{\sin \frac{{2\pi }}{7}}} - \frac{{{{\sin }^2}\frac{{2\pi }}{7}}}{{\sin \frac{\pi }{7}}} + \frac{{{{\sin }^2}\frac{\pi }{7}}}{{\sin \frac{{3\pi }}{7}}} = 2\sin \frac{{3\pi }}{7}\cos \frac{{2\pi }}{7} - 2\sin \frac{{2\pi }}{7}\cos \frac{\pi }{7} + 2\sin \frac{\pi }{7}\cos \frac{{3\pi }}{7}$

$\displaystyle = \sin \frac{{5\pi }}{7} + \sin \frac{\pi }{7} - \sin \frac{{3\pi }}{7} - \sin \frac{\pi }{7} + \sin \frac{{4\pi }}{7} + \sin \left( { - \frac{{2\pi }}{7}} \right) = 0$ .

#3

matha έγραψε: Τετ Δεκ 25, 2019 7:43 pm Πέτυχα τις παρακάτω ισότητες, οι οποίες έχουν το άρωμα του Ramanujan.
Δεν επιχείρησα να τις αποδείξω, οπότε τις παραδίδω στο κοινό του .

$\displaystyle{\color{red}\boxed{\bf 1}}$ : $\displaystyle{ \quad \frac{\sin (2\pi /7)}{\sin ^2 (3\pi /7)}-\frac{\sin (\pi /7)}{\sin ^2 (2\pi /7)}+\frac{\sin (3\pi /7)}{\sin ^2 (\pi /7)}=2\sqrt {7}}$

Δεν ξέρω τι άρωμα φορά ο Ramanujan, αλλά ομολογώ ότι η πρώτη με βασάνισε πολύ.
Ομολογώ ότι αναζήτησα και χρησιμοποίησα δύο τύπους στο διαδίκτυο. (Δείτε τις παραπομπές).
Επίσης άλλαξα ένα πρόσημο. Ας ελέγξει ο Θάνος στην πηγή ή όποιος θέλει (και αντέχει) να κάνει επαλήθευση.

ΝΕΑ ΕΚΦΩΝΗΣΗ: Να δειχθεί ότι:

Α. $\displaystyle \frac{{\sin \frac{{2\pi }}{7}}}{{{{\sin }^2}\frac{{3\pi }}{7}}} + \frac{{\sin \frac{\pi }{7}}}{{{{\sin }^2}\frac{{2\pi }}{7}}} + \frac{{\sin \frac{{3\pi }}{7}}}{{{{\sin }^2}\frac{\pi }{7}}} = 2\sqrt 7$ Έβαλα (+) αντί για (-) στο δεύτερο κλάσμα.

Είναι $\displaystyle \sin \frac{\pi }{7} \cdot \sin \frac{{2\pi }}{7} \cdot \sin \frac{{3\pi }}{7} = \frac{{\sqrt 7 }}{8}$ (1) (Δείτε ΕΔΩ)

Είναι $\displaystyle si{n^2}\frac{{2\pi }}{7} + si{n^2}\frac{{3\pi }}{7} - si{n^2}\frac{\pi }{7} = \frac{7}{4}$ (2) (Δείτε ΕΔΩ)

Είναι $\displaystyle sin\frac{{2\pi }}{7}sin\frac{{3\pi }}{7} - sin\frac{\pi }{7}sin\frac{{3\pi }}{7} - sin\frac{\pi }{7}sin\frac{{2\pi }}{7} = 0$ (3) (Εύκολα αποδεικνύεται με τύπους διπλασίου τόξου).

Οπότε,
$\displaystyle (3) \Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{7}sin\frac{{2\pi }}{7}sin\frac{{3\pi }}{7} = \left( {sin\frac{{3\pi }}{7} + sin\frac{{2\pi }}{7}} \right)si{n^2}\frac{\pi }{7}$ $\displaystyle \Leftrightarrow si{n^2}\frac{\pi }{7} = \frac{{\sqrt 7 }}{{8\left( {sin\frac{{3\pi }}{7} + sin\frac{{2\pi }}{7}} \right)}}$ .

Ομοίως $\displaystyle si{n^2}\frac{{2\pi }}{7} = \frac{{\sqrt 7 }}{{8\left( {sin\frac{{3\pi }}{7} - sin\frac{\pi }{7}} \right)}}$ και $\displaystyle si{n^2}\frac{{3\pi }}{7} = \frac{{\sqrt 7 }}{{8\left( {sin\frac{{2\pi }}{7} - sin\frac{\pi }{7}} \right)}}$

$\displaystyle A = \frac{{\sin \frac{{2\pi }}{7}}}{{{{\sin }^2}\frac{{3\pi }}{7}}} + \frac{{\sin \frac{\pi }{7}}}{{{{\sin }^2}\frac{{2\pi }}{7}}} + \frac{{\sin \frac{{3\pi }}{7}}}{{{{\sin }^2}\frac{\pi }{7}}} =$

$\displaystyle = \frac{8}{{\sqrt 7 }}\left( {\sin \frac{{2\pi }}{7}\left( {sin\frac{{2\pi }}{7} - sin\frac{\pi }{7}} \right) + \sin \frac{\pi }{7}\left( {sin\frac{{3\pi }}{7} - sin\frac{\pi }{7}} \right) + \sin \frac{{3\pi }}{7}\left( {sin\frac{{3\pi }}{7} + sin\frac{{2\pi }}{7}} \right)} \right) =$

$\displaystyle = \frac{4}{{\sqrt 7 }}\left( {2si{n^2}\frac{{2\pi }}{7} - 2\sin \frac{{2\pi }}{7}sin\frac{\pi }{7} + 2\sin \frac{\pi }{7}sin\frac{{3\pi }}{7} - 2si{n^2}\frac{\pi }{7} + 2{{\sin }^2}\frac{{3\pi }}{7} + 2sin\frac{{2\pi }}{7}sin\frac{{3\pi }}{7}} \right) =$

$\displaystyle = \frac{4}{{\sqrt 7 }}\left( {2si{n^2}\frac{{2\pi }}{7} - \cos \frac{\pi }{7} + \cos \frac{{3\pi }}{7} + \cos \frac{{2\pi }}{7} - \cos \frac{{4\pi }}{7} - 2si{n^2}\frac{\pi }{7} + 2{{\sin }^2}\frac{{3\pi }}{7} + \cos \frac{\pi }{7} - \cos \frac{{5\pi }}{7}} \right) =$

$\displaystyle = \frac{4}{{\sqrt 7 }}\left( {2si{n^2}\frac{\pi }{7} - 2si{n^2}\frac{\pi }{7} + 2{{\sin }^2}\frac{{3\pi }}{7}} \right) = \frac{4}{{\sqrt 7 }} \cdot \frac{{2 \cdot 7}}{4} = 2\sqrt 7$ .

edit: Υπάρχει λάθος πρόσημο στον 2ο τύπο. Δείτε παρακάτω τη διόρθωση.

#4

Γιώργο, ίσως έχεις δίκιο (δεν έλεγξα την απόδειξή σου). Πάντως, η αρχική εκφώνηση είναι όπως την έδωσα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Κυρ Δεκ 29, 2019 9:06 pm
Είναι $\displaystyle si{n^2}\frac{{2\pi }}{7} + si{n^2}\frac{{3\pi }}{7} - si{n^2}\frac{\pi }{7} = \frac{7}{4}$ (2) (Δείτε ΕΔΩ)

Δεν ισχύει με τίποτα.

Συμπλήρωμα.
Εκείνο που ισχύει είναι

$\displaystyle si{n^2}\frac{{2\pi }}{7} + si{n^2}\frac{{3\pi }}{7} +si{n^2}\frac{\pi }{7} = \frac{7}{4}$

#6

Καλησπέρα σε όλους και Καλή Χρονιά!

Ευχαριστώ τον Αχιλλέα, τον Γιώργο, τον Θάνο και τον Σταύρο που έψαξαν και εντόπισαν το σφάλμα που με βασάνισε για ώρα. Δεν είχα προσέξει ότι το ημίτονο ήταν σε τετράγωνο, οπότε ήταν απλώς $\displaystyle \left( sin\frac{8\pi}{7} \right )^2=\left( -sin\frac{\pi}{7} \right )^2=sin^2\frac{\pi}{7}$ με αποτέλεσμα να οδηγούμαι σε αδιέξοδα βήματα. Αν θέλει ο Αχιλλέας ας δώσει την πηγή στην οποία εντόπισε παρόμοιο θέμα.

Ξαναγράφω την παραπάνω προσέγγιση με τις διορθώσεις:

Α. Να αποδειχθεί ότι: $\displaystyle \frac{{\sin \frac{{2\pi }}{7}}}{{{{\sin }^2}\frac{{3\pi }}{7}}} - \frac{{\sin \frac{\pi }{7}}}{{{{\sin }^2}\frac{{2\pi }}{7}}} + \frac{{\sin \frac{{3\pi }}{7}}}{{{{\sin }^2}\frac{\pi }{7}}} = 2\sqrt 7$

Είναι $\displaystyle \sin \frac{\pi }{7} \cdot \sin \frac{{2\pi }}{7} \cdot \sin \frac{{3\pi }}{7} = \frac{{\sqrt 7 }}{8}$

Είναι $\displaystyle si{n^2}\frac{{2\pi }}{7} + si{n^2}\frac{{3\pi }}{7} + si{n^2}\frac{\pi }{7} = \frac{7}{4}$

Είναι $\displaystyle sin\frac{{2\pi }}{7}sin\frac{{3\pi }}{7} - sin\frac{\pi }{7}sin\frac{{3\pi }}{7} - sin\frac{\pi }{7}sin\frac{{2\pi }}{7} = 0$

$\displaystyle \Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{7}sin\frac{{2\pi }}{7}sin\frac{{3\pi }}{7} = \left( {sin\frac{{3\pi }}{7} + sin\frac{{2\pi }}{7}} \right)si{n^2}\frac{\pi }{7}$ $\displaystyle \Leftrightarrow si{n^2}\frac{\pi }{7} = \frac{{\sqrt 7 }}{{8\left( {sin\frac{{3\pi }}{7} + sin\frac{{2\pi }}{7}} \right)}}$ .

Ομοίως $\displaystyle si{n^2}\frac{{2\pi }}{7} = \frac{{\sqrt 7 }}{{8\left( {sin\frac{{3\pi }}{7} - sin\frac{\pi }{7}} \right)}}$ και $\displaystyle si{n^2}\frac{{3\pi }}{7} = \frac{{\sqrt 7 }}{{8\left( {sin\frac{{2\pi }}{7} - sin\frac{\pi }{7}} \right)}}$

$\displaystyle A = \frac{{\sin \frac{{2\pi }}{7}}}{{{{\sin }^2}\frac{{3\pi }}{7}}} - \frac{{\sin \frac{\pi }{7}}}{{{{\sin }^2}\frac{{2\pi }}{7}}} + \frac{{\sin \frac{{3\pi }}{7}}}{{{{\sin }^2}\frac{\pi }{7}}} =$

$\displaystyle = \frac{8}{{\sqrt 7 }}\left( {\sin \frac{{2\pi }}{7}\left( {sin\frac{{2\pi }}{7} - sin\frac{\pi }{7}} \right) - \sin \frac{\pi }{7}\left( {sin\frac{{3\pi }}{7} - sin\frac{\pi }{7}} \right) + \sin \frac{{3\pi }}{7}\left( {sin\frac{{3\pi }}{7} + sin\frac{{2\pi }}{7}} \right)} \right) =$

$\displaystyle = \frac{4}{{\sqrt 7 }}\left( {2si{n^2}\frac{{2\pi }}{7} - 2\sin \frac{{2\pi }}{7}sin\frac{\pi }{7} - 2\sin \frac{\pi }{7}sin\frac{{3\pi }}{7} + 2si{n^2}\frac{\pi }{7} + 2{{\sin }^2}\frac{{3\pi }}{7} + 2sin\frac{{2\pi }}{7}sin\frac{{3\pi }}{7}} \right) =$

$\displaystyle = \frac{4}{{\sqrt 7 }}\left( {2si{n^2}\frac{{2\pi }}{7} - \cos \frac{\pi }{7} + \cos \frac{{3\pi }}{7} + \cos \frac{{2\pi }}{7} - \cos \frac{{4\pi }}{7} + 2si{n^2}\frac{\pi }{7} + 2{{\sin }^2}\frac{{3\pi }}{7} + \cos \frac{\pi }{7} - \cos \frac{{5\pi }}{7}} \right) =$

$\displaystyle = \frac{4}{{\sqrt 7 }}\left( {2si{n^2}\frac{\pi }{7} - 2si{n^2}\frac{\pi }{7} + 2{{\sin }^2}\frac{{3\pi }}{7}} \right) = \frac{4}{{\sqrt 7 }} \cdot \frac{{2 \cdot 7}}{4} = 2\sqrt 7$ .

#7

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Δευ Δεκ 30, 2019 7:17 pm Καλησπέρα σε όλους και Καλή Χρονιά!

Ευχαριστώ τον Αχιλλέα, τον Γιώργο, τον Θάνο και τον Σταύρο που έψαξαν και εντόπισαν το σφάλμα που με βασάνισε για ώρα. Δεν είχα προσέξει ότι το ημίτονο ήταν σε τετράγωνο, οπότε ήταν απλώς $\displaystyle \left( sin\frac{8\pi}{7} \right )^2=\left( -sin\frac{\pi}{7} \right )^2=sin^2\frac{\pi}{7}$ με αποτέλεσμα να οδηγούμαι σε αδιέξοδα βήματα. Αν θέλει ο Αχιλλέας ας δώσει την πηγή στην οποία εντόπισε παρόμοιο θέμα.

...

Καλησπέρα και Χρόνια Πολλά!

Όπως είχαμε αναφέρει κι εδώ, από το πρόβλημα 230(a) του USSR Olympiad Problem Book, D.O. Shklarsky et.al., Dover, NY, 1993, οι

$\sin^2\frac{\pi}{7}$ , $\sin^2\frac{2\pi}{7}$ , $\sin^2\frac{3\pi}{7}$ ,

είναι ρίζες του

64x^3-112x^2+56x-7=0

,

οπότε

$\displaystyle{\sin^2\frac{\pi}{7}+\sin^2\frac{2\pi}{7}+\sin^2\frac{3\pi}{7}=\dfrac{112}{64}=\dfrac{7}{4}},$

Φιλικά,

Αχιλλέας

Τριγωνομετρικά αθροίσματα!

Τριγωνομετρικά αθροίσματα!

Re: Τριγωνομετρικά αθροίσματα!

Re: Τριγωνομετρικά αθροίσματα!

Re: Τριγωνομετρικά αθροίσματα!

Re: Τριγωνομετρικά αθροίσματα!

Re: Τριγωνομετρικά αθροίσματα!

Re: Τριγωνομετρικά αθροίσματα!

Μέλη σε σύνδεση