Τιμή τριγωνομετρικού

Συντονιστής: nsmavrogiannis

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4334
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Τιμή τριγωνομετρικού

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Ιαν 25, 2020 8:29 pm

Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\sin 27^\circ = \frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}}{4}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3134
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τιμή τριγωνομετρικού

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Ιαν 25, 2020 9:10 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Ιαν 25, 2020 8:29 pm
Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\sin 27^\circ = \frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}}{4}}
Δεν καταλαβαίνω το νόημα της ανάρτησης.

Είναι \cos 54=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}

και \sin 27=\sqrt{\frac{1-\cos 54}{2}}

Αντικαθιστούμε κάνουμε τις πράξεις και βλέπουμε ότι ισχύει.

Δεν νομίζω ότι θα έπρεπε να κάνω και τις πράξεις.

Με την ευκαιρία ωραίο είναι το
https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonome ... l_radicals


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4654
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Τιμή τριγωνομετρικού

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Ιαν 25, 2020 9:25 pm

Καλησπέρα σε όλους.

Θεωρώ δεδομένο το  \displaystyle \sigma \upsilon \nu 54^\circ  = \frac{{\sqrt {10 - 2\sqrt 5 } }}{4}. Κλασική εφαρμογή τύπου τριπλασίου τόξου.

Κατόπιν κινούμαι ανάποδα,κατασκευάζοντας το ανάπτυγμα του ζητούμενου τύπου.


Είναι  \displaystyle \eta \mu 27^\circ  = \sqrt {\frac{{1 - \sigma \upsilon \nu 54^\circ }}{2}}  = \sqrt {\frac{{4 - \sqrt {10 - 2\sqrt 5 } }}{8}}

 \displaystyle  = \frac{{\sqrt {8 - 2\sqrt {10 - 2\sqrt 5 } } }}{4} = \frac{{\sqrt {\left( {5 + \sqrt 5 } \right) + \left( {3 - \sqrt 5 } \right) - 2\sqrt {\left( {5 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)} } }}{4}

 \displaystyle  = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt {5 + \sqrt 5 }  - \sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)}^2}} }}{4} = \frac{{\sqrt {5 + \sqrt 5 }  - \sqrt {3 - \sqrt 5 } }}{4}

edit: Όσο έγραφα δεν είχα δει την ανάρτηση του Σταύρου, που περιγράφει την πορεία που ακολούθησα.
Αν θυμάμαι καλά υπάρχει και πιο κλασική λύση όπου υπολογίζουμε το ημίτονο και το συνημίτονο των 27^0 λύνοντας σύστημα συναρτήσει του ημιτόνου των 54^0. Εκεί ζητείται να βρεθούν το το ημίτονο και το συνημίτονο των 27^0 δίχως να δίνεται η απάντηση, όπως εδώ.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9452
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τιμή τριγωνομετρικού

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιαν 29, 2020 1:14 pm

Και μία παρανοϊκή σκέψη:

\displaystyle \sin 3^\circ  = \sin (18^\circ  - 15^\circ ) = \frac{1}{{16}}\left( {\sqrt 6  + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 5  - 1} \right) - \frac{1}{8}\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\sqrt {5 + \sqrt 5 }

Ομοίως, \displaystyle \cos 3^\circ  = \frac{1}{8}\left( {\sqrt 3  + 1} \right)\sqrt {5 + \sqrt 5 }  + \frac{1}{{16}}\left( {\sqrt 6  - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 5  - 1} \right)

\displaystyle \sin 27^\circ  = \sin (30^\circ  - 3^\circ ) = \frac{1}{2}\cos 3^\circ  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 3^\circ  = ... και καταλήγω στο ζητούμενο αποτέλεσμα (*).




(*) Στο τέλος χρειάζεται να δειχτεί ότι \displaystyle \frac{{\sqrt 2 }}{8}\left( {\sqrt 5  - 1} \right) = \frac{{\sqrt {3 - \sqrt 5 } }}{4} που είναι απλό.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης