Επαγωγική απόδειξη!

Συντονιστής: nsmavrogiannis

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6261
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Επαγωγική απόδειξη!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Δευ Απρ 13, 2020 2:42 pm

Δεν θυμάμαι αν το έχουμε ξαναδεί.

Καλός ο διαφορικός λογισμός, αλλά τώρα ζητείται να αποδειχθεί ότι ισχύει

\displaystyle{2^x>18x} για κάθε \displaystyle{x\in[7,+\infty )}

με χρήση επαγωγής.


Μάγκος Θάνος

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12311
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Επαγωγική απόδειξη!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Απρ 13, 2020 6:56 pm

Αποσύρω την εσφαλμένη μου απόδειξη. Θα επανέλθω με σωστή.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11662
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Επαγωγική απόδειξη!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Απρ 13, 2020 7:58 pm

Η άσκηση μου θύμισε το θέμα αυτό , στο οποίο , επίσης , εμπλέκεται ο Θάνος ...


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3115
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Επαγωγική απόδειξη!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Απρ 13, 2020 8:07 pm

matha έγραψε:
Δευ Απρ 13, 2020 2:42 pm
Δεν θυμάμαι αν το έχουμε ξαναδεί.

Καλός ο διαφορικός λογισμός, αλλά τώρα ζητείται να αποδειχθεί ότι ισχύει

\displaystyle{2^x>18x} για κάθε \displaystyle{x\in[7,+\infty )}

με χρήση επαγωγής.
Για 7\leq x< 7,1
είναι
\displaystyle 2^{x}\geq 2^{7}=128> 18.7,1> 18x

Εστω ότι ισχύει για x \in[7+0,1n,7+0,1(n+1))

Για x \in[7+0,1(n+1),7+0,1(n+2))

εχουμε

\displaystyle 2^{x}=2^{x-0,1}2^{0,1}> 2^{0,1}18(x-0,1)

Αρκεί να αποδείξουμε ότι

 2^{0,1}18(x-0,1)>18x

Η τελευταία είναι ισοδύναμη με την

\displaystyle x> \frac{0,1.2^{0,1}}{2^{0,1}-1}

Αρκεί να αποδείξουμε ότι \displaystyle \frac{0,1.2^{0,1}}{2^{0,1}-1}<7
κάνοντας πράξεις (όποιος θέλει πάει και σε κομπιουτεράκι)
η τελευταία είναι ισοδύναμη με την

\displaystyle (1-\frac{1}{70})^{10}>\frac{1}{2}

που ισχύει γιατί \displaystyle (1-\frac{1}{70})^{10}>1-10\frac{1}{70} >\frac{1}{2}

Εύκολα αποδεικνύεται επαγωγικά ότι για n\in \mathbb{N},n\geq 2
0<a< 1είναι \displaystyle (1-a)^{n}> 1-na


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης