Ένα άθροισμα!

Συντονιστής: nsmavrogiannis

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6260
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Ένα άθροισμα!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Μάιος 06, 2020 8:23 pm

Να υπολογίσετε το άθροισμα

\displaystyle{\rm S(n)=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\cos ^n \left(\frac{k\pi}{n}\right).}


Μάγκος Θάνος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8444
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ένα άθροισμα!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Μάιος 07, 2020 12:34 am

Γράφουμε \omega = e^{\pi i /n}. Τότε

\begin{aligned} 
S(n) &= \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k \left(\frac{\omega^k + \omega^{-k}}{2}\right)^n \\ 
&= \frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{n-1} \sum_{r=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{r} \omega^{kr} \omega^{-k(n-r)} \\ 
&= \frac{1}{2^n}\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r} \sum_{k=0}^{n-1}  \omega^{2kr} 
\end{aligned}

όπου στην τρίτη ισότητα χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι \omega^{-kn} = e^{\pi i k} = (-1)^k.

Παρατηρούμε τώρα ότι \sum_{k=0}^{n-1}  \omega^{2kr} = n αν \omega^{2r} = 1 και \displaystyle  \sum_{k=0}^{n-1}  \omega^{2kr} = \frac{1 - \omega^{2rn}}{1 - \omega^{2r}} = 0 αν \omega^{2r} \neq 1.

Όμως για 0 \leqslant r \leqslant n έχουμε \omega^{2r} = 1 αν και μόνο αν r=0 ή r=n. Καταλήγουμε λοιπόν στο \displaystyle S(n) = \frac{n}{2^{n-1}}.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4296
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ένα άθροισμα!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Μάιος 07, 2020 12:52 am

Χμμμ... κάτι μου λέει ότι ίσως θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε τη συνάρτηση

\displaystyle{f(z)=\frac{n/z}{z^n-1}}
για να υπολογίσουμε το άθροισμα. Έχω δει παρόμοια τεχνική σε άλλου είδους πεπερασμένα αθροίσματα. Η συνάρτηση έχει residue 1 στις n-οστές ρίζες της μονάδος και -n στο 0. Δεν το έχω κοιτάξει.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης