Αρρητότητα του π^2

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\displaystyle{\mathrm{P}(x) = \frac{1}{(2n)!} x^{2n} \left ( \pi - x \right )^{2n}}$ . Θεωρούμε το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J}_n = \int_{0}^{\pi} \mathrm{P}(x) \sin x \, \mathrm{d}x}$
Να εκφραστεί το παραπάνω ολοκλήρωμα ως γραμμικός συνδυασμός των $1, \pi^2, \pi^4 , \dots, \pi^{2n}$ πάνω από το $\mathbb{Z}$ και στη συνέχεια να συμπεράνετε ότι ο $\pi^2$ είναι άρρητος.

Δεν έχω λύση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 10, 2020 10:04 pm
Έστω $\displaystyle{\mathrm{P}(x) = \frac{1}{(2n)!} x^{2n} \left ( \pi - x \right )^{2n}}$ . Θεωρούμε το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J}_n = \int_{0}^{\pi} \mathrm{P}(x) \sin x \, \mathrm{d}x}$
Να εκφραστεί το παραπάνω ολοκλήρωμα ως γραμμικός συνδυασμός των $1, \pi^2, \pi^4 , \dots, \pi^{2n}$ πάνω από το $\mathbb{Z}$ και στη συνέχεια να συμπεράνετε ότι ο $\pi^2$ είναι άρρητος.

Δεν έχω λύση.

Η ιδέα είναι του Ivan Niven.
Ελαφρά τροποποιημένη(για τους τύπους,στην ουσία ίδια)
βρίσκεται στο Mathematical Analysis Tom Apostol.
Είναι η άσκηση 7.33.
Εκεί έχει τα βήματα που πρέπει να γίνουν.
Τα εργαλεία που χρησιμοποιούνται είναι σχολικά.

Αν θελει κάποιος λεπτομέρειες της απόδειξης τότε δεν έχει να πάει στον Spivak
Κεφάλαιο 16 .
Εκει είναι αναλυτικά γραμμένη.
Και έτσι γραμμένη ώστε να είναι σχολική.

Συμπλήρωμα.
Οποιος δεν έχει Apostol η Spivak πάει σε αυτό

https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_tha ... irrational

εχει την απόδειξη του Niven και μερικές ακόμα.

Συμπλήρωμα 2.
Δεν νομίζω ότι είναι στον σωστό φάκελο.
Μάλλον για Ανάλυση είναι.

Tolaso J Kos · #3

Δε κατάλαβα τίποτα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 11, 2020 2:21 am
Δε κατάλαβα τίποτα.

Δεν καταλαβαίνω τι δεν κατάλαβες.
Αν πας στον Spivak κεφάλαιο 16 σελ 274
θα δεις την απόδειξη που πιο αναλυτικά δεν γίνεται.
Απλώς εκεί θεωρεί την συνάρτηση στο [0,1]

.
Μια αλλαγή μεταβλητής είναι.

Tolaso J Kos · #5

Σταύρο δεν έχω τον Spivak και το link που άνοιξα στην απόδειξη του Niven δε τη κατάλαβα.

Αρρητότητα του π^2

Αρρητότητα του π^2

Re: Αρρητότητα του π^2

Re: Αρρητότητα του π^2

Re: Αρρητότητα του π^2

Re: Αρρητότητα του π^2

Μέλη σε σύνδεση