Άγνωστη ανισότητα Αρχιμήδη

[Mihalis_Lambrou]

Να αποδειχθεί ότι για , ισχύει

(ισχύει ακόμα και για μέχρι αλλά δεν έχει νόημα για το τμήμα από έως γιατί το αριστερό μέλος είναι έτσι και αλλιώς αρνητικό).

Ζητώ αποδείξεις κατά προτίμηση χωρίς Απειροστικό, αλλά δεν με ενοχλεί και με Απειροστικό.

H ανισότητα υπάρχει σε ισοδύναμη Γεωμετρική μορφή σε ένα σχήμα με ορθογώνιο τρίγωνο και, για δεύτερη φορά, σε ένα σχήμα με ημικύκλιο στο Αρχαί της Γεωμετρίας του Αρχιμήδη, Προτάσεις και , αντίστοιχα. Εδώ την μετέγραψα σε Τριγωνομετρική μορφή. Εννοείται ότι η απόδειξη του Αρχιμήδη είναι καθαρά Γεωμετρική, ούτε με Τριγωνομετρία ούτε, πόσο μάλλον, με Απειροστικό.

Το χειρόγραφο σώζεται μόνο σε μεσαιωνική Αραβική μετάφραση, και δεν έχει εκδοθεί ποτέ στα Ελληνικά πλην ενός μικρού τμήματός του στα Άπαντα του Αρχιμήδη, από τον Σταμάτη, αλλά που δεν περιέχει τις Προτάσεις και . (Δυστυχώς είναι συχνό το φαινόμενο να αγνοούμε την πολιτιστική μας κληρονομιά, και έχω πάμπολα οδυνηρά παραδείγματα εντός και εκτός Μαθηματικών).

Έχω μία θεωρία για τον λόγο που ασχολήθηκε ο Αρχιμήδης με την εν λόγω ανισότητα αλλά δεν είναι της ώρας. Πάντως ο λόγος δεν φαίνεται από το χειρόγραφο, γιατί ούτε το σωζώμενο αραβικό δεν είναι το πλήρες κείμενο, αλλά μόνο τμήμα του. Έχω όμως ισχυρά επιχειρήματα από τα συμφραζόμενα για το "πού το πάει ο Αρχιμήδης", αλλά προς το παρόν πρόκειται για εν εξελίξει έρευνά μου. Ελπίζω κάποτε να την ολοκληρώσω και ανακοινώσω.

[Manolis Petrakis]

Έστω τότε:


Αρκεί να δειχθεί ότι:



Αλλά έτσι και

[R BORIS]

Θετω
Αρκεί
ή που ισχύει αφού η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι μη θε
ική
H ισοτητα ισχυει για ή

[nsmavrogiannis]

Να αποδειχθεί ότι για , ισχύει

(ισχύει ακόμα και για μέχρι αλλά δεν έχει νόημα για το τμήμα από έως γιατί το αριστερό μέλος είναι έτσι και αλλιώς αρνητικό).

Ζητώ αποδείξεις κατά προτίμηση χωρίς Απειροστικό, αλλά δεν με ενοχλεί και με Απειροστικό.

H ανισότητα υπάρχει σε ισοδύναμη Γεωμετρική μορφή σε ένα σχήμα με ορθογώνιο τρίγωνο και, για δεύτερη φορά, σε ένα σχήμα με ημικύκλιο στο Αρχαί της Γεωμετρίας του Αρχιμήδη, Προτάσεις και , αντίστοιχα. Εδώ την μετέγραψα σε Τριγωνομετρική μορφή. Εννοείται ότι η απόδειξη του Αρχιμήδη είναι καθαρά Γεωμετρική, ούτε με Τριγωνομετρία ούτε, πόσο μάλλον, με Απειροστικό.

Το χειρόγραφο σώζεται μόνο σε μεσαιωνική Αραβική μετάφραση, και δεν έχει εκδοθεί ποτέ στα Ελληνικά πλην ενός μικρού τμήματός του στα Άπαντα του Αρχιμήδη, από τον Σταμάτη, αλλά που δεν περιέχει τις Προτάσεις και . (Δυστυχώς είναι συχνό το φαινόμενο να αγνοούμε την πολιτιστική μας κληρονομιά, και έχω πάμπολα οδυνηρά παραδείγματα εντός και εκτός Μαθηματικών).

Έχω μία θεωρία για τον λόγο που ασχολήθηκε ο Αρχιμήδης με την εν λόγω ανισότητα αλλά δεν είναι της ώρας. Πάντως ο λόγος δεν φαίνεται από το χειρόγραφο, γιατί ούτε το σωζώμενο αραβικό δεν είναι το πλήρες κείμενο, αλλά μόνο τμήμα του. Έχω όμως ισχυρά επιχειρήματα από τα συμφραζόμενα για το "πού το πάει ο Αρχιμήδης", αλλά προς το παρόν πρόκειται για εν εξελίξει έρευνά μου. Ελπίζω κάποτε να την ολοκληρώσω και ανακοινώσω.

Γεια σας.
Μιχάλη προσπάθησα, χάριν γούστου, να συνθέσω μια αμιγώς γεωμετρική απόδειξη. Την γράφω:

Θεωρούμε το ορθογώνιο στο , με την γωνία να είναι . Θέλουμε ή ισοδύναμα .
Φέρνουμε ώστε και από τα όμοια και έχουμε:

Επομένως αν δείξουμε ότι έχουμε τελειώσει.
Πράγματι και από το θεώρημα των διχοτόμων έχουμε ότι και επομένως το μέσο της είναι μεταξύ των . Αλλά τότε από τις πλάγιες μεγαλύτερη είναι η που συνεπάγεται ότι .
Τότε και επομένως από το τρίγωνο έχουμε .

20210126.png (45.26 KiB) Προβλήθηκε 1191 φορές

[S.E.Louridas]

Ας δούμε και την Γεωμετρική άποψη που ακολουθεί:

Στο σχήμα που βλέπουμε θεωρούμε ως το σημείο τομής των χορδών του κύκλου
Αν η τομή των τότε εύκολα, και με την συνδρομή του ρόμβου έχουμε
Έτσι καταλήγουμε οπότε παίρνουμε

ΜΛ.png (76.36 KiB) Προβλήθηκε 1173 φορές