Ένα σύστημα από τα παλιά

#1

Να λυθεί το σύστημα
$\root{\omega}\of{4}\cdot 5^{\varphi }=250,\,\,\,\,\,3^{\omega }\cdot 4^{\varphi }=576$
(Πολυτ. 1930)

Το πήρα από ένα παλιό βιβλίο.

: system01.png (1.17 MiB) Προβλήθηκε 892 φορές

Αργότερα μπορούμε να δούμε και την λύση που προτείνει ο συγγραφέας.

#2

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Τετ Απρ 26, 2023 10:19 pm
Να λυθεί το σύστημα
$\root{\omega}\of{4}\cdot 5^{\varphi }=250,\,\,\,\,\,3^{\omega }\cdot 4^{\varphi }=576$
(Πολυτ. 1930)

Το πήρα από ένα παλιό βιβλίο.
system01.png
Αργότερα μπορούμε να δούμε και την λύση που προτείνει ο συγγραφέας.

Στα σχολικά μου χρόνια, το πάλαι ποτέ, τέτοιες ασκήσεις ήταν στο ρεπερτόριο της στάνταρ διδασκαλίας.

Παίρνιοντας λογάριθμο (τότε δουλεύαμε πάντα με βάση το

και κάναμε εκτενή χρήση λογαριθμικών πινάκων) έχουμε

$\dfrac {1}{\omega} \log 4 + \phi \log 5 = \log 250$ και

$\omega \log 3 + \phi \log 4 = \log 576$

Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη επί $\log 4$ , την δεύτερη επί $\log 5$ και αφαιρούμε. Θα προκύψει

$\dfrac {1}{\omega}( \log 4 )^2 - \omega \log 3 \log 5 = \log 250 \log 4 - \log 576 \log 5$

Λύνουμε την δευτεροβάθμια ως προς $\omega$ , αντικαθιστούμε στην πρώτη, και λοιπά. Αφήνω τις πράξεις.

#3

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Τετ Απρ 26, 2023 10:19 pm
Να λυθεί το σύστημα
$\root{\omega}\of{4}\cdot 5^{\varphi }=250,\,\,\,\,\,3^{\omega }\cdot 4^{\varphi }=576$
(Πολυτ. 1930)

Το πήρα από ένα παλιό βιβλίο.
system01.png
Αργότερα μπορούμε να δούμε και την λύση που προτείνει ο συγγραφέας.

Το $\varphi$ είναι πραγματικός αριθμός και $\omega>0.$ Η πρώτη εξίσωση, υψώνοντας στην $\omega,$ γράφεται:

$\displaystyle 4 \cdot {5^{\omega \varphi }} = {250^\omega } = {2^\omega } \cdot {5^{3\omega }} \Leftrightarrow {2^{\omega - 2}} = {5^{\omega (\varphi - 3)}} \Leftrightarrow (\omega - 2)\log 2 = \omega (\varphi - 3)\log 5$

Ομοίως από τη δεύτερη εξίσωση παίρνω,

$\displaystyle {3^\omega } \cdot {4^\varphi } = {3^2} \cdot {2^6} \Leftrightarrow {3^{\omega - 2}} = {2^{2(3 - \varphi )}} \Leftrightarrow (\omega - 2)\log 3 = 2(3 - \varphi )\log 2$

Υποθέτω ότι $\displaystyle \omega \ne 2,\varphi \ne 3$ και διαιρώ κατά μέλη.

$\displaystyle \frac{{\log 2}}{{\log 3}} = - \frac{\omega }{2}\frac{{\log 5}}{{\log 2}} \Leftrightarrow \omega = - \frac{{2{{(\log 2)}^2}}}{{\log 3 \cdot \log 5}}$ που είναι άτοπο, αφού $\omega>0.$

Άρα $\boxed{\omega=2, \varphi=3}$ που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις του συστήματος.

Christos.N · #4

Μήπως γνωρίζετε τι ορισμό έδιναν εκείνη την εποχή στο συμβολισμό $\sqrt[n]{a}$ .

Γιατί αν δεχτούμε ότι $\sqrt[-n]{a}=\frac{1}{ \sqrt[n]{a}}$ υπάρχει άλλο ένα ζευγάρι νομίζω.

#5

Christos.N έγραψε: ↑
Παρ Απρ 28, 2023 6:32 pm
Μήπως γνωρίζετε τι ορισμό έδιναν εκείνη την εποχή στο συμβολισμό $\sqrt[n]{a}$ .

Γιατί αν δεχτούμε ότι $\sqrt[-n]{a}=\frac{1}{ \sqrt[n]{a}}$ υπάρχει άλλο ένα ζευγάρι νομίζω.

Δεν γνωρίζω τι γινόταν παλαιότερα. Στα χρόνια μου πάντως, στο εξατάξιο τότε γυμνάσιο από 1966 έως 1972, ποτέ δεν είχαμε αναφερθεί σε αρνητικό δείκτη ρίζας.

Αντιγράφω από το βιβλίο Μεγάλη Άλγεβρα του Αριστείδου. Φ. Πάλλα (1971)

ΟΡΙΣΜΟΣ: Καλείται $\displaystyle \rm \nu$ (νιοστή) ρίζα, ένθα $\displaystyle \rm \nu$ φυσικός αριθμός, αριθμού τινός

, ο αριθμός ο οποίος υψούμενος εις την $\displaystyle \rm \nu$ (νιοστήν) δύναμιν, δίδει τον αριθμόν

#6

Γεια σας
Ευχαριστώ τον Μιχάλη και τον Γιώργο για τις απαντήσεις τους.
Η "φυσιολογική" αντιμετώπιση είναι αυτή που αναφέρει ο Μιχάλης και ακολουθούσαμε στα σχολικά μας χρόνια.
Η εξαιρετική ιδέα του Γιώργου κόβει πολύ δρόμο και δίνει τις λύσεις σχεδόν αμέσως.
Ας δούμε λίγο την πρώτη. Χάριν απλότητας ας ονομάσουμε

$a=\log 2,\,\,\,b=\log 3,\,\,\,c=\log 5$
Αφού λογαριθμήσουμε και κάνουμε μια απαλοιφή παρονομαστών καταλήγουμε στις εξισώσεις
$a\left( \omega -2\right) =c\omega \left( \varphi -3\right)$
$b\left( \omega -2\right) =2a\left( 3-\varphi \right)$
που είναι οι εξισώσεις που παραθέτει ο Γιώργος. Λύνοντας τηνδεύτερη βρίσκουμε
$\varphi =\frac{6a+2b-b\omega }{2a}\,\,\,(1)$
Αντικαθιστώντας στην πρώτη και μετά από κάποιες πράξεις έχουμε την εξίσωση
$bc\omega ^{2}+2\left( a^{2}-bc\right) \omega -4a^{2}$
που η διακρίνουσα της είναι
$\Delta =\left( 2\left( a^{2}-bc\right) \right) ^{2}-4bc\left( -4a^{2}\right) =\allowbreak 4a^{4}+8a^{2}bc+4b^{2}c^{2}=\allowbreak 4\left( bc+a^{2}\right) ^{2}$
και οι ρίζες της είναι
$\omega _{1}=2,\,\,\omega _{2}=-2\frac{a^{2}}{bc}\,\,\,\,(2)$
που αν αντικαταστήσουμε στην (1)

μας δίνουν
$\varphi _{1}=3,\,\,\,\,\,\varphi _{2}=\allowbreak \frac{3ac+bc+a^{2}}{ac}\,\,\,\,(3)$

Σημαντική εξοικονόμηση πράξεων μπορούμε να έχουμε αν εργασθούμε με την λογαριθμική συνάρτηση με βάση το

.
Στην περίπτωση αυτή αν ονομάσουμε $a=\log _{2}3,\,\,\,b=\log _{2}5$ θα έχουμε τις εξισώσεις:
$\frac{2}{\omega }+b\varphi =1+3b$
$a\omega +2\varphi =6+2a$
από την επίλυση των οποίων βρίσκουμε τις τιμές $2,\,\,\,-\frac{2}{ab}$ για το $\omega$ με αντίστοιχες τιμές για το $\varphi$ τις $3, \,\,\,a+\frac{1}{b}+3$ .

Ας δούμε τώρα την προέλευση και λύση της άσκησης. Η άσκηση είναι θέμα εξετάσεων και την πήρα από το βιβλίο
Γεώργιος Χρ. Παπανικολάου Μαθήματα Άλγεβρας Έκδοση ΣΤ' 1955.
Η λύση που προτείνει ο συγγραφέας φαίνεται στην εικόνα και στην ουσία εργάζεται με τους $\omega ,\varphi$ ακεραίους και αξιοποιεί το μονοσήμαντο της ανάλυσης σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

: system02.jpg (886.46 KiB) Προβλήθηκε 597 φορές

Διαπίστωσα ότι η ίδια λύση παρατίθεται και στον τρίτο τόμο της Μεγάλης Άλγεβρας του Αρ. Πάλλα έκδοση του 1946.

Εδώ τίθενται δύο ερωτήματα

1) Μας ενδιαφέρουν μόνο θετικές τιμές των αγνώστων; Πρόκειται ακριβώς για το ερώτημα που έθεσε ο Χρήστος στο #4. Που ισοδυναμεί με το: πως όριζαν το σύμβολο $\root{x}\of{f\left( x\right) }$ οι συγγραφείς εκείνης της εποχής. Κοιτώντας κάποιες Άλγεβρες (Παπανικολάου, Τόγκας, Μπαρπαστάθης, Πάλλας) δεν κατόρθωσα να βρω κάποιο σαφή ορισμό. Ορίζουν το σύμβολο $\root{\nu }\of{A}$ για $\nu$ θετικό ακέραιο (όπως αναφέρει ο Γιώργος στο 5#) και μετά κάπου στις εκθετικές εξισώσεις εμφανίζεται άγνωστος και στο δείκτη της ρίζας. Ο Παπανικολάου στην αμέσως προηγούμενη άσκηση δέχεται και τιμή $x=\frac{1}{2}$ για τoν δείκτη.

2) Ένα άλλο ερώτημα που έχει, χάριν γούστου, κάποιο ενδιαφέρον είναι το ακόλουθο. Ας υποθέσουμε ότι μας ενδιαφέρουν μόνο ρητές τιμές των αγνώστων αλλά δεν μας πειράζει να είναι και αρνητικές. Είναι προφανές ότι το μονοσήμαντο της ανάλυσης σε πρώτους παράγοντες πάλι επαρκεί στο συγκεκριμένο σύστημα για τον εντοπισμό των ρητών λύσεων. Η ερώτημα είναι το ακόλουθο: Η παραπάνω αντιμετώπιση "χάνει" άραγε λύσεις; Με άλλα λόγια
Το ζεύγος
$\omega =-\frac{2}{ab},\,\,\,\varphi =\allowbreak a+\frac{1}{b}+3$ , όπου $a=\log _{2}3,\,\,\,b=\log _{2}5$
απαρτίζεται άραγε από ρητούς ή άρρητους αριθμούς;
Νομίζω ότι το ερώτημα, για το οποίο δεν έχω απάντηση, ξεφεύγει από την σχολική ύλη. Ενώ είναι σχετικά απλό αξιοποιώντας το θεώρημα Gelfond–Schneider να έχουμε πληροφορίες για τους αριθμούς $a,b,a+b,a-b,\frac{a}{b},\frac{b}{a}$ δεν βλέπω (για την ώρα ; ) κάτι για τους $-\frac{1}{ab},\,\,\,a+\frac{1}{b}$ .

Ένα σύστημα από τα παλιά

Ένα σύστημα από τα παλιά

Re: Ένα σύστημα από τα παλιά

Re: Ένα σύστημα από τα παλιά

Re: Ένα σύστημα από τα παλιά

Re: Ένα σύστημα από τα παλιά

Re: Ένα σύστημα από τα παλιά

Μέλη σε σύνδεση