Η "χρυσή" συνάρτηση.

k-ser · #1

Με αφορμή το θέμα που συζητήθηκε εδώ εδώ αναρωτήθηκα ποια μπορεί να είναι η συνάρτηση $\displaystyle f:(0,+\infty)\to (0,+\infty)$ για την οποία ισχύει $\displaystyle f\left(f(x)\right)=xf(x), \ \ \forall x>0$ .
Δεν ξέρω αν το θέμα έχει ξανασυζητηθεί...
Κατέληξα στα παρακάτω, για τα οποία μια δεύτερη ματιά θα ήταν αναγκαία! και ευχαριστώ όποιον το... τολμήσει.

Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις $\displaystyle \bf{f:(0,+\infty) \to (0,+\infty)}$ με $\displaystyle \bf{f\left(f(x)\right)=x\cdot f(x), \ \ \forall x>0}$

Απάντηση

Ακολουθία Fibonacci είναι η ακολουθία $\displaystyle (\varphi_n): \ \ \varphi_{n+1}=\varphi_n+\varphi_{n-1}, \ \ \varphi_1=0, \ \ \varphi_2=1$ .

Το όριο της ακολουθίας $\displaystyle (b_n): \ \ b_n=\frac{\varphi_{n+1}}{\varphi_n}$ είναι ο "χρυσός" αριθμός $\displaystyle \varphi$ , για τον οποίο ισχύει: $\displaystyle \varphi ^2-\varphi=1, \ \ \varphi >0$

Ορίζουμε τις συναρτήσεις: $\displaystyle a_n(x)=f\left(a_{n-1}(x)\right), \ \ n\geq2$ , $\displaystyle a_1(x)=f(x)$ με $\displaystyle x>0, \ \ \ n$ ακέραιος

Για την συνάρτηση που αναζητούμε και για την οποία ισχύει: $\displaystyle \bf{f\left(f(x)\right)=x\cdot f(x), \ \ \forall x>0}$ αποδεικνύονται εύκολα τα παρακάτω:

$\displaystyle \bf{a_n (x)=x^{\varphi_n} \cdot \left( f(x) \right)^{\varphi_{n+1}}, \ \ n\geq2}$ , με επαγωγή

Η συνάρτηση είναι 1-1, οπότε και γνησίως μονότονη ως συνεχής.

$\displaystyle \bf {f(1)=1}$

Θα αποδείξουμε ακόμα ότι για την συνάρτηση $\displaystyle f$ το σύνολο τιμών της είναι το $\displaystyle \bf{(0,+\infty)}$

1η Περίπτωση: Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα.

Σύνολο τιμών:

Το $\displaystyle 1$ είναι τιμή της $\displaystyle f$ και αν υποθέσουμε ότι υπάρχει $\displaystyle y \in (0,1)$ το οποίο δεν είναι τιμή της $\displaystyle f$ τότε, από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, θα πρέπει

$\displaystyle \forall x>0:\\ \\ \ \ f(x)>y\Rightarrow f\left(f(x)\right)<f(y)\Rightarrow xf(x)<f(y)\Rightarrow xy<xf(x)<f(y) \Rightarrow \\ \\x<\frac{f(y)}{y}$

το οποίο είναι άτοπο.

Ομοίως, οδηγούμαστε σε άτοπο, αν υποθέσουμε ότι υπάρχει $\displaystyle y>1$ που δεν είναι τιμή της $\displaystyle f$ .

Άρα το σύνολο τιμών της $\displaystyle f$ είναι το $\displaystyle \bf{(0,+\infty)}$

Εύρεση της συνάρτησης

Για $\displaystyle 0<x<1$ ,

λόγω μονοτονίας, είναι

$\displaystyle a_{2n}(x)<1, \ \ n\geq1$ και $\displaystyle a_{2n+1}(x)>1, \ \ n\geq1$

έτσι

$\displaystyle x^{\varphi_{2n}} \cdot \left( f(x) \right)^{\varphi_{2n+1}}<1, \ \ n\geq1 \Rightarrow f(x)<\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{\varphi_{2n}}{\varphi_{2n+1}}}$ και $\displaystyle x^{\varphi_{2n+1}} \cdot \left( f(x) \right)^{\varphi_{2n+2}}<1, \ \ n\geq1 \Rightarrow f(x)>\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{\varphi_{2n+1}}{\varphi_{2n+2}}}$

συνεπώς
$\displaystyle f(x) \leq\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{\varphi}}$ και $\displaystyle f(x) \geq\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{\varphi}}$

οπότε

$\displaystyle \bf {f(x) = \left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{\varphi}}, \ \ x>1}$

Ομοίως για $\displaystyle x>1$

Άρα $\displaystyle \color{red}{\bf {\boxed {f(x) = \left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{\varphi}}, \ \ x>0}}}$ , η οποία επαληθεύει τα δεδομένα.

2η Περίπτωση: Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

Σύνολο τιμών:

Το $\displaystyle 1$ είναι τιμή της $\displaystyle f$ και αν υποθέσουμε ότι υπάρχει $\displaystyle y \in (0,1)$ το οποίο δεν είναι τιμή της $\displaystyle f$ τότε, από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, θα πρέπει

$\displaystyle \forall x>0: \ \ f(x)>y\Rightarrow f\left(f(x)\right)>f(y) \ \ \overset{x=y}{\Rightarrow} yf(y)>f(y)\Rightarrow y>1$

το οποίο είναι άτοπο.

Ομοίως, οδηγούμαστε σε άτοπο, αν υποθέσουμε ότι υπάρχει $\displaystyle y>1$ που δεν είναι τιμή της $\displaystyle f$ .

Άρα το σύνολο τιμών της $\displaystyle f$ είναι το $\displaystyle \bf{(0,+\infty)}$

Εύρεση της συνάρτησης

Είναι $\displaystyle \frac{f\left(f(x)\right)}{f(x)}=x, \ \ x>0$ άρα και εφόσον το σύνολο τιμών της $\displaystyle f$ είναι το $\displaystyle \bf{(0,+\infty)}$ ισχύει: $\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{x}=f^{-1}(x), \ \ x>0$

Επίσης ισχύει ότι η $\displaystyle f^{-1}$ είναι γνησίως αύξουσα.

Ορίζουμε τις γνησίως φθίνουσες συναρτήσεις $\displaystyle g, h:$

$\displaystyle g(x)=f^{-1}\left(\frac{1}{x}\right), \ \ x>0$ , $\displaystyle h(x)=\frac{1}{f^{-1}(x)}, \ \ x>0$

για τις οποίες αποδεικνύεται εύκολα ότι ισχύουν:

$\displaystyle g\left(h(x)\right)=xh(x), \ \ x>0$ και $\displaystyle h\left(g(x)\right)=xg(x), \ \ x>0 \ \ \color{red}{ \bf{(\sigma)}}$

Ορίζουμε ακόμα τις συναρτήσεις:

$\displaystyle a_1(x)=g(x), \ \ a_2(x)=h\left(a_1(x)\right), \ \ a_3(x)=g\left(a_2(x)\right), \ \ x>0$ και γενικά

$\displaystyle a_{2n}(x)=h\left(a_{2n-1}(x)\right), \ \ a_{2n+1}(x)=g\left(a_{2n}(x)\right), \ \ x>0$ και $\displaystyle n$ θετικός ακέραιος.

Με την βοήθεια των σχέσεων $\displaystyle \color{red}{ \bf{(\sigma)}}$ έχουμε ότι για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle n$ ισχύουν:

$\displaystyle a_{2n+2}(x)=h\left(a_{2n+1}(x)\right)=h\left(g\left(a_{2n}(x)\right)\right)=a_{2n}(x)\cdot g\left(a_{2n}(x)\right)= \\ a_{2n}(x)\cdot a_{2n+1}(x)$

και

$\displaystyle a_{2n+3}(x)=g\left(a_{2n+2}(x)\right)=g\left(h\left(a_{2n+1}(x)\right)\right)=a_{2n+1}(x)\cdot h\left(a_{2n+1}(x)\right)= \\ a_{2n+1}(x)\cdot a_{2n+2}(x)$

Έτσι, έχουμε ότι: $\displaystyle a_{n+1}(x)=a_n(x)\cdot a_{n-1}(x), \ \ x>0, \ \ n>1$

Επαγωγικά τώρα είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι: $\displaystyle a_n(x)=x^{\varphi_{n-1}} \cdot g^{\varphi_{n}}(x), \ \ x>0, \ \ n>1$

Ακόμα, οι συναρτήσεις $\displaystyle a_{2n}, \ \ n\geq1$ είναι γνησίως αύξουσες , ενώ οι $\displaystyle a_{2n-1}, \ \ n\geq1$ είναι γνησίως φθίνουσες.

Για $\displaystyle x>1$ είναι:

$\displaystyle a_{2n}(x)>1 \Rightarrow x^{\varphi_{2n-1}} \cdot g^{\varphi_{2n}}(x) >1 \Rightarrow g(x)>\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{\varphi_{2n-1}}{\varphi_{2n}}} \Rightarrow \\ g(x)\geq\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{\varphi}$

$\displaystyle a_{2n+1}(x)<1 \Rightarrow x^{\varphi_{2n}} \cdot g^{\varphi_{2n+1}}(x) <1 \Rightarrow g(x)<\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{\varphi_{2n}}{\varphi_{2n+1}}} \Rightarrow \\ g(x)\leq\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{\varphi}$

Συνεπώς

$\displaystyle g(x)=\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{\varphi}$

Ομοίως για $\displaystyle 0<x<1$

Άρα

$\displaystyle f^{-1}(x)=x^{\frac{1}{\varphi}}, \ \ x>0$ και

$\displaystyle \color{red}{\bf{\boxed{f(x)=x^{\varphi}, \ \ x>0}}}$ η οποία επαληθεύει τα δεδομένα.

#2

Κώστα σωστά μου φαίνονται.

k-ser · #3

Δημήτρη, σ' ευχαριστώ για το χρόνο που διέθεσες.

Να είσαι πάντα καλά.

Η "χρυσή" συνάρτηση.

Η "χρυσή" συνάρτηση.

Re: Η "χρυσή" συνάρτηση.

Re: Η "χρυσή" συνάρτηση.

Μέλη σε σύνδεση