Εύκολη...

M.S.Vovos · #1

Καλησπέρα στο

!

Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ με:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} \textup{sup}_{\textup{t}\in \mathbb{R}}\left ( 2tx-t^{2} \right ) &,x\in \mathbb{Q} \\ x^{3}&,x\notin \mathbb{Q} \end{matrix}\right.$

Να δείξετε ότι η συνάρτηση

είναι συνεχής μόνο στα σημεία 0,1

.

Φιλικά,
Μάριος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

M.S.Vovos έγραψε:Καλησπέρα στο !
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Μια επαναληπτική άσκηση (αρκετά εύκολη), για τα παιδιά του πρώτου έτους στον Απειροστικό Ι.
Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ με:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} \textup{sup}_{\textup{t}\in \mathbb{R}}\left ( 2tx-x^{2} \right ) &,x\in \mathbb{Q} \\ x^{3}&,x\notin \mathbb{Q} \end{matrix}\right.$

Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής μόνο στα σημεία .

Φιλικά,
Μάριος

Γεια σου Μάριε.Μπορείς να εξηγήσεις τι είναι το

$sup_{t\in \mathbb{R}}(2tx-x^{2})$

M.S.Vovos · #3

Γεια σου Σταύρο! Όλα καλα;

Εννοεί το supremum. Η άσκηση είναι από το βιβλίο του Σπανδάγου! Τη θεώρησα διδακτική.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Για $x\neq 0$ είναι

$sup_{t\in \mathbb{R}}(2tx-x^{2})=\infty$

Οπότε..........

M.S.Vovos · #5

Ναι Σταύρο. Δίκιο έχεις έχω κάνει τυπογραφικό...

Διορθώθηκε. Συγγνώμη αν ταλαιπώρησα κάποιους.

Υ.Γ. Ξέρει κανείς τον κώδικα ώστε το $t\in \mathbb{R}$ να πάει κάτω από το supremum;

Φιλικά,
Μάριος

Tolaso J Kos · #6

M.S.Vovos έγραψε:
Υ.Γ. Ξέρει κανείς τον κώδικα ώστε το $t\in \mathbb{R}$ να πάει κάτω από το supremum;

Γνωρίζω την άσκηση και υπάρχει και στο

(μια παρόμοια στο φάκελο του ΑΣΕΠ) οπότε θα την αφήσω για κάποιον που δεν την έχει δει. Τώρα για την ερώτηση που θέτεις έχουμε:
$\displaystyle{f(x) = \left\{\begin{matrix} \sup \limits_{t \in \mathbb{R}} \left ( 2t x - t^2 \right ) & , & x \in \mathbb{Q} \\ x^3 & , & x \notin \mathbb{Q} \end{matrix}\right.}$ Δες εδώ περισσότερα για την εντολή \limits.

#7

M.S.Vovos έγραψε: Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ με:

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} \textup{sup}_{\textup{t}\in \mathbb{R}}\left ( 2tx-t^{2} \right ) &,x\in \mathbb{Q} \\ x^{3}&,x\notin \mathbb{Q} \end{matrix}\right.$

Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής μόνο στα σημεία .

Επειδή $2tx-t^{2} = -(x-t)^2+x^2 \le x^2$ με ισότητα αν t=x

, είναι

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} x^2 &,x\in \mathbb{Q} \\ x^{3}&,x\notin \mathbb{Q} \end{matrix}\right.$

Το αποτέλεσμα τώρα είναι άμεσο από την πυκνότητα των ρητών: Έχουμε συνέχεια ακριβώς μόνον εκεί που τέμνονται οι $x^2, \, x^3$ .

Εύκολη...

Εύκολη...

Re: Εύκολη...

Re: Εύκολη...

Re: Εύκολη...

Re: Εύκολη...

Re: Εύκολη...

Re: Εύκολη...

Μέλη σε σύνδεση