Συνήθης διαφορικὴ ἀνισότης

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω $f:\mathbb R\to\mathbb R$ διαφορίσιμη καὶ φραγμένη. Ἂν $|f'(x)-f(x)|\le 1$ , διὰ κάθε , δείξατε ὅτι $|f(x)|\le 1$ , διὰ κάθε .

#2

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω $f:\mathbb R\to\mathbb R$ διαφορίσιμη καὶ φραγμένη. Ἂν $|f'(x)-f(x)|\le 1$ , διὰ κάθε , δείξατε ὅτι $|f(x)|\le 1$ , διὰ κάθε .

Η δοθείσα γράφεται $-1 \le f'(x)-f(x)\le 1$ . Πολλαπλασιάζουμε επί $e^{-x}$ οπότε γίνεται
$-e^{-x} \le (e^{-x}f(x))'\le e^{-x}$ .

Ολοκληρώνουμε τώρα από

έως άπειρο (αυτό είναι το κλειδί) οπότε

$\left [ e^{-x}\right ]_t^{\infty} \le \left [e^{-x}f(x)\right ]_t^{\infty} \le -\left [e^{-x}\right ]_t^{\infty}, \, \, (*)$

Χρησιμοποιώντας την υπόθεση ότι η

είναι φραγμένη, η (*)

γράφεται

$-e^{-t} \le 0- e^{-t}f(t) \le e^{-t}$

από όπου αμέσως το ζητούμενο.

Σχόλιο: Η υπόθεση ότι η

είναι φραγμένη είναι απαραίτητη καθώς η f(x)=e^x

ικανοποιεί όλες τις υπόλοιπες συνθήκες αλλά όχι το συμπέρασμα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Μετά την εξαίρετη λύση του Μιχάλη που στην ουσία δεν χρησιμοποιεί το φραγμένη αλλά το ασθενέστερο

$\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)e^{-x}=0$

θα περιγράψω μια διαφορετική λύση που χρησιμοποιεί κατά ουσιαστικό τρόπο το ότι είναι φραγμένη.

Η ουσιαστική παρατήρηση είναι ότι εκεί που η

έχει τοπικό ακρότατο είναι $\left |f(x) \right |\leq 1$

Αν δεν ισχύει το συμπέρασμα τότε για μεγάλα

το μέγιστο-ελάχιστο της

στο

είναι στο

το μέγιστο και στο

το ελάχιστο.

Αν υποθέσουμε ότι τα μέγιστα είναι

τότε

Μπορούμε να δούμε ότι η

είναι τελικά αύξουσα.

Επειδή είναι φραγμένη υπάρχει το $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)$

Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν

μεγάλα όπου το f'(x)

είναι όσο κοντά στο

θέλουμε.

Το τελευταίο οδηγεί σε ΑΤΟΠΟ γιατί το f(x)

είναι όσο κοντά στο

θέλουμε

Συνήθης διαφορικὴ ἀνισότης

Συνήθης διαφορικὴ ἀνισότης

Re: Συνήθης διαφορικὴ ἀνισότης

Re: Συνήθης διαφορικὴ ἀνισότης

Μέλη σε σύνδεση