Μία με πλήρες σώμα.

#1

Έστω

ένα διατεταγμένο αρχιμήδειο σώμα που έχει την ιδιότητα:

Κάθε συνάρτηση που έχει θετική παράγωγο σε ένα διάστημα είναι γνησίως αύξουσα σε αυτό.

1) Να αποδειξετε ότι το

είναι πλήρες.
2) Μπορεί η υπόθεση "αρχιμήδειο" να απαλειφθεί;

Σημείωση Για το 2) δεν έχω απάντηση.

Μαυρογιάννης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Θα δείξω το εξής.

Αν έχουμε ένα μη πλήρες διατεταγμένο σώμα τότε
υπάρχει συνάρτηση με θετική παράγωγο σε αυτό που δεν είναι αύξουσα.

Αφου το σώμα δεν είναι πλήρες θα υπάρχει ένα υποσύνολο του έστω

μη κενό ,άνω φραγμένο που δεν έχει ελάχιστο ανω φράγμα.

Δηλαδή supA

δεν υπάρχει.

Για ένα

στο σώμα υπάρχουν δύο περιπτώσεις.
1)Υπάρχει $a\in A:x\leq a$
2)Για κάθε $a\in A\Rightarrow x> a$

Θέτουμε f(x)=x-c

για την δεύτερη περίπτωση και f(x)=x

για την πρώτη
(το

είναι ένα στοιχείο του σώματος που θα το διαλέξουμε αργότερα)

Θα δείξουμε ότι f'(x)=1

παντού.

Για την περίπτωση 1.
Εχουμε ότι για κάποιο $a\in A$ $x\leq a$
Το

δεν μπορεί να είναι άνω φράγμα του

γιατί τότε θα υπήρχε το supA

.

Αρα υπάρχει $a_{1}\in A$ με $a< a_{1}$

Παίρνωντας $\delta =a_{1}-a$ στον ορισμό του ορίου έχουμε f'(x)=1

Για την περίπτωση 2.
Υπάρχει $\delta > 0$ ώστε $x-\delta \geq a$ για κάθε $a\in A$

Γιατί αν δεν υπήρχε τότε για κάθε $\delta > 0$ θα υπήρχε $a\in A$ με $x-\delta < a$
και θα βγάζαμε το συμπέρασμα ότι το x=supA

Αρα για $t> x-\frac{\delta }{2}$ είναι f(t)=t-c

οπότε πάλι προκύπτει ότι f'(x)=1

Τωρα θα διαλέξουμε το

ώστε να μην είναι αύξουσα.

Παίρνοντας ένα $a\in A$ και

ένα ανω φράγμα του
παίρνουμε c=b-a+1

Είναι

και

Αν λοιπόν δεν την έχω πατήσει κάπου τότε
Αν σε ένα διατεταγμένο σώμα κάθε συνάρτηση με θετική παράγωγο είναι αύξουσα τότε το σώμα είναι πλήρες.

#3

Σταύρο σε ευχαριστώ για την ωραία απόδειξη που με μια κίνηση δίνει απάντηση και στο πρώτο και στο δεύτερο ερώτημα.
Η δική μου χρησιμοποιούσε την επιπλέον (όπως αποδείχθηκε) υπόθεση ότι το

είναι Αρχιμήδειο και επομένως δεν έχει νόημα να την παραθέσω.

Μία με πλήρες σώμα.

Μία με πλήρες σώμα.

Re: Μία με πλήρες σώμα.

Re: Μία με πλήρες σώμα.

Μέλη σε σύνδεση