Κάτω φράγμα διαστήματος μεταξύ ριζών

mikemoke · #1

Θεωρούμε $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ 2 φορές παραγωγίσιμη και ισχύει
f''(x)+f(x)>0

, $\forall x \in\mathbb{R}$
Έστω r_1,r_2 : f(r_1)=f(r_2)=0

,

Tότε να αποδειχθεί ότι |r_1-r_2|>2

.

Edit : Είχα ξεχάσει δεδομένο .

dement · #2

Έστω $x_0 \in [r_1,r_2]$ με f(x_0)

μέγιστο. Ισχύει $x_0 \notin \{ r_1, r_2 \}$ αφού f'(r_1) > 0

. Από ΘΜΤ υπάρχει $\xi_1 \in (r_1, x_0)$ με $\displaystyle f'(\xi_1) = \frac{f(x_0)}{x_0 - r_1}$ και $\xi_2 \in (x_0, r_2)$ με $\displaystyle f'(\xi_2) = - \frac{f(x_0)}{r_2 - x_0}$ . Έτσι, πάλι από ΘΜΤ, υπάρχει $\xi_3 \in (\xi_1, \xi_2)$ με $\displaystyle f''(\xi_3) = \frac{f(x_0)}{\xi_2 - \xi_1} \left( - \frac{1}{r_2-x_0} - \frac{1}{x_0-r_1} \right) < - \frac{f(x_0)}{\xi_2-\xi_1} \frac{4}{r_2-r_1} < - \frac{4 f(x_0)}{(r_1-r_2)^2}$ .

Αφού όμως $f(x_0) \geqslant f(\xi_3) > - f''(\xi_3)$ , έχουμε $\displaystyle f''(\xi_3) < \frac{4 f''(\xi_3)}{(r_1-r_2)^2}$ και, λαμβάνοντας υπόψη ότι $f''(\xi_3)<0$ , παίρνουμε |r_1-r_2|>2

.

mikemoke · #3

H

παρουσιάζει μέγιστο $f_{max}=f(x_0)>0$ , $x_0 \in (r_1,r_2)$ .

$f'(r_1)>0 , f''(r_1)>0 , f'(x_0)=0 \Rightarrow \exists \xi _1\in(0,x_0): f'(\xi _1)=f'{max}(x\in[0,x_0])\geq \frac{f(x_0)-f(r_1)}{x_0-r_1}>0$

Ακόμα πρέπει να $\exists r_3 \in (r_1,r_3]:f(r_3)=0,f''(r_3)>0 , f'(r_3)\leq 0$
άρα $\exists \xi _2\in(x_0,r_3):f'(\xi _2)=f'{min}(x\in[x_0,r_3])\leq \frac{f(r_3)-f(x_0)}{r-3-x_0}<0$

Έστω οι εφαπτομένες , e_1,e_2

της

στα $A(\xi_1,f(\xi_1)) ,B(\xi_2,f(\xi_2))$
$e_1\cap x'x\equiv K(x_k,0) ,x_k\in(r_1,x_0)$ και $e_2\cap x'x\equiv L(x_l,0) ,x_l\in(x_0,r_3)$
και $e_1\cap e_2\equiv M$ με $y_m \geq f_{max}$

Aν δεν ισχύουν καταλήγουμε σε άτοπο.

Έστω c_1= x_0-x_k , c_2= r_3-x_l

Από ΘΜΤ για την f''

στο $(\xi_1,\xi_2)$

$\Rightarrow \exists \xi_3 \in (\xi_1,\xi_2)\subset (x_k,x_l): f''(\xi_3)=\frac{-\frac{y_m}{c_2}-\frac{y_m}{c_1}}{\xi_2-\xi_1}$

Αν $c_1+c_2\leq 2\Rightarrow \frac{-\frac{y_m}{c_2}-\frac{y_m}{c_1}}{c_2+c_1}+y_m< 0$

$\frac{-\frac{y_m}{c_2}-\frac{y_m}{c_1}}{c_2+c_1}+y_m >f''(\xi_3)+f(\xi_3)$

$\Rightarrow f''(\xi_3)+f(\xi_3)<0$
AΤΟΠΟ

Άρα c_1+c_2>2

$\Rightarrow |r_1-r_2|>2$

Θα μπορούσαμε να βρούμε καλύτερο φράγμα ;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

mikemoke έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 18, 2018 10:28 pm
Θεωρούμε $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ 2 φορές παραγωγίσιμη και ισχύει
, $\forall x \in\mathbb{R}$
Έστω ,
Tότε να αποδειχθεί ότι .

Edit : Είχα ξεχάσει δεδομένο .

Για πιο καλό φράγμα καθώς και άνω φράγματα δες
viewtopic.php?f=61&t=60839

Κάτω φράγμα διαστήματος μεταξύ ριζών

Κάτω φράγμα διαστήματος μεταξύ ριζών

Re: Κάτω φράγμα διαστήματος μεταξύ ριζών

Re: Κάτω φράγμα διαστήματος μεταξύ ριζών

Re: Κάτω φράγμα διαστήματος μεταξύ ριζών

Μέλη σε σύνδεση