Από ανισότητες σε ανισότητα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Έστω $f:\mathbb R\to \mathbb R$ μια δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση.

Αν $(f{'}(x))^2+(f{''}(x))^2\leq 1$ και $|f(x)|\leq 1$ για κάθε $x\in \mathbb R$ ,

δείξτε ότι $(f(x))^2+(f{'}(x))^2\leq 1$ για κάθε $x\in \mathbb R$ .

#2

Αποσείρω την λυσημου λόγω σοβαρού σφάλματος που μου υπέδειξε ο Σταύρος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

R BORIS έγραψε: Τετ Φεβ 06, 2019 6:22 pm
$\displaystyle{\pm(f(x)-f(0))=\int_{0}^{x}|f'(t)|dt}$

ΧΒΓ παίρνουμε $\displaystyle{g(0)=f(0)=0}$

Η πρώτη ισότητα δεν ισχύει εν γένει.

Επίσης δεν βλέπω πως χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι

$\displaystyle{g(0)=f(0)=0}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Επαναφορά.
Γνωρίζω δύο λύσεις.
Η μια είναι με σχολική ύλη αλλά σε καμία περίπτωση στο πνεύμα του σχολείου.

Η βασική παρατήρηση και για τις δύο είναι :

Αν θέσουμε
$g(x)=(f(x))^2+(f{'}(x))^2$
τότε
$g'(c)=0 \Rightarrow g(c)\leq 1$

Θα την αφήσω κάποιες μέρες και μετά θα βάλω τις λύσεις.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Θέτουμε
$g(x)=(f(x))^2+(f{'}(x))^2$

εχουμε ότι g'(x)=2f'(x)(f(x)+f''(x))

Αρα $g'(x)=0\Rightarrow f'(x)=0 or f(x)=-f''(x)$

Συμπεραίνουμε ότι

$g'(c)=0 \Rightarrow g(c)\leq 1$

Αρα στα τοπικά μέγιστα η

έχει τιμή μικρότερη η ίση του

Λύση με θεωρία σχολικού βιβλίου.
Εστω ότι υπάρχει

με

Θα είναι

Η ιδέα είναι ότι η παράγωγος κοντά στα άπειρα παίρνει οσο μικρές τιμές θέλουμε

Εφαρμόζω ΘΜΤ στο διάστημα $[|c|,|c|+\frac{3}{\sqrt{a}}]$

Υπάρχει $b\in (|c|,|c|+\frac{3}{\sqrt{a}})$

ώστε $2\geq |f(|c|+\frac{2}{\sqrt{a})})-f(|c|)|=|f'(b)|\frac{3}{\sqrt{a}}$

Τελικά υπάρχει b>|c|

με $|f'(b)|< \sqrt{a}$

Ομοια μπορούμε να βρούμε t<-|c|

με $|f'(t)|<\sqrt{a}$ .

Θεωρούμε την

στο κλειστό [t,b]

Είναι

Αλλά στο

η

σαν συνεχής παίρνει μέγιστη τιμή που λόγω

της προηγούμενης είναι σε σημείο έστω $d\in (t,b)$

Τότε όμως g'(d)=0

δηλαδή $g(d)\leq 1< g(c)$

που είναι ΑΤΟΠΟ.

Αρα για κάθε $x\in \mathbb{R}$ είναι $g(x)\leq 1$

Με ύλη εκτός σχολικού.(περιγραφή)

Θεωρούμε το σύνολο

που αποτελείται από τους πραγματικούς στους οποίους η

έχει τοπικό μέγιστο.

Αν το

δεν είναι ανω και κάτω φραγμένο το αποτέλεσμα έπεται.

Αν το

είναι άνω φραγμένο τότε από κάπου και πέρα η

θα είναι μονότονη.

Αρα θα υπάρχει το $\lim_{x\rightarrow \infty }g(x)=l$

Αν $l\leq 1$ το αποτέλεσμα έπεται.

Αν l>1

τότε από κάπου και πέρα θα είναι $|f'(x)|\geq \epsilon > 0$

που βγάζει ΑΤΟΠΟ λόγω της $|f(x)|\leq 1$ .

'Ομοια δουλεύουμε αν το

είναι κάτω φραγμένο.

#6

Yπάρχει και άλλος τρόπος να δείξουμε ότι η $\displaystyle{f'}$ παίρνει "μικρές" τιμές κοντά στο απειρο
Εύκολα βλέπουμε ότι $\displaystyle{f'\le 1,f\le 1}$
Τότε $\displaystyle{f^2+f'^2\le f+f'=\frac{(e^xf)'}{(e^x)'}}$
παιρνουμε όρια οταν $\displaystyle{x\to +\infty }$ και δεδομένου ότι αν $\displaystyle{0<|f|\le 1,|f|=f}$ κοντά στο +άπειρο από κανονα DLH στον οποίο δεν μας ενδιαφέρει το οριο του αριθμητή, ( $\displaystyle{f\ne 0}$ ) γιατί αλλιώς το ζητούμενο είναι προφανές έχουμε,
$\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}(f+f')=\lim_{x\to +\infty}(f)\Rightarrow \lim_{x\to +\infty}(f')=0}$
ΕΤσι αποφεύγουμε τα ΘΜΤ που μου φάνηκαν ουρανοκατέβατα
Πάντως ΜΠΡΑΒΟ ! στον Σταύρο για τις λύσεις του

#7

Aκομη μια παρατήρηση
Αν $\displaystyle{g}$ γν . αύξουσα $\displaystyle{g(x)<\lim_{x\to +\infty}g=\lim_{x\to +\infty}f^2+f'^2=\lim_{x\to +\infty}f^2\le 1 }$ αφού $\displaystyle{f^2\le 1 }$ και $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}f'^2=0}$

Από ανισότητες σε ανισότητα

Από ανισότητες σε ανισότητα

Re: Από ανισότητες σε ανισότητα

Re: Από ανισότητες σε ανισότητα

Re: Από ανισότητες σε ανισότητα

Re: Από ανισότητες σε ανισότητα

Re: Από ανισότητες σε ανισότητα

Re: Από ανισότητες σε ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση