Ανισότητα μεταξύ ολοκληρωμάτων

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Για

θέτουμε $\ln ^{+}x=max(0,\ln x)$

1) Να δειχθεί ότι για $x> 0,y\geq 0$
είναι

$xy\leq x\ln ^{+}x+e^{y}-1$

2)Αν $f:(0,1]\rightarrow (0,\infty )$

είναι συνεχής συνάρτηση να δειχθεί ότι για κάθε 0<a<1

ισχύει

$\displaystyle \int_{a}^{1}f(x)\ln \frac{1}{x}dx\leq 2\int_{a}^{1}f(x)\ln^{+} f(x)dx+2$

#2

προσθετουμε Αν $\displaystyle{x\le 1}$ τότε $\displaystyle{xln^+χ=0}$ αρκεί $\displaystyle{xy\le e^y-1}$ που ισχύει αφού $\displaystyle{xy\le y\le e^y-1}$
αν $\displaystyle{x>1}$ θετω $\displaystyle{g(y)=e^y-1+xlnx-xy}$ και εύκολα δείχνουμε ότι η $\displaystyle{g}$ εχει ελάχιστο στο $\displaystyle{lnx}$ θετικό που αποδεικνύει το ζητούμενο. Τελικα $\displaystyle{xy \le xln^+x+e^y-1}$ σε κάθε περίπτωση
Λόγω λαθους αποσύρω την λυση μου

kfd · #3

Το ελάχιστο στο α΄ερώτημα δεν είναι το x-1>0;

#4

Ναι το διορθωσα Απροσεξία ευτυχώς δεν αλλάζει τίποτα

#5

για το 2
2η προσπάθεια
απο την προηγούμενη $\displaystyle{f(x)ln^+f(x)\ge xf(x)+1-e^x ,f(x)ln^+f(x)-f(x)lnx\ge 1-x}$ αρα $\displaystyle{2+2f(x)ln^+f(x)-f(x)lnx\ge 4-x-e^x+xf(x)\ge 4-1-e+0>0}$ διοτι $\displaystyle{x\le 1,x>0,f(x)>0}$
ολοκληρώνοντας και μεταφέροντας ένα 2α στο 2ο μέλος εχουμε το ζητούμενο

μάλλον λαθος πάλι 0<y=lnx<0 ισως να λύνεται αν θέσουμε y=ln(1/x)? OYΦ με καύρασε ας το δεί κάποιος άλλος ευχαριστώ τον Σταυρο για την παρεμβαση του σε ΠΜ και για την ωραία άσκηση

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Τελευταία επαναφορά για το 2) πριν γράψω λύση.

#7

Από το (1) έχουμε

$\displaystyle f(x)\ln(\tfrac{1}{x}) = 2f(x)\ln(\tfrac{1}{\sqrt{x}}) \leqslant 2\[ f(x) \ln^+(f(x)) + \frac{1}{\sqrt{x}} - 1$

Άρα

$\displaystyle \begin{aligned}\int_{a}^{1} f(x)\ln(\tfrac{1}{x}) \,\mathrm{d}x &\leqslant 2\int_a^1 f(x) \ln^+(f(x)) \,\mathrm{d}x + 2\int_a^1\left(\frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \right)\mathrm{d}x \\ &\leqslant 2\int_a^1 f(x) \ln^+(f(x)) \,\mathrm{d}x + 2\int_a^1\left(\frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \right)\mathrm{d}x \\ &\leqslant 2\int_a^1 f(x) \ln^+(f(x)) \,\mathrm{d}x + 2\int_0^1\left(\frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \right)\mathrm{d}x \\ &= 2\int_a^1 f(x) \ln^+(f(x)) \,\mathrm{d}x+2 \end{aligned}$

Ανισότητα μεταξύ ολοκληρωμάτων

Ανισότητα μεταξύ ολοκληρωμάτων

Re: Ανισότητα μεταξύ ολοκληρωμάτων

Re: Ανισότητα μεταξύ ολοκληρωμάτων

Re: Ανισότητα μεταξύ ολοκληρωμάτων

Re: Ανισότητα μεταξύ ολοκληρωμάτων

Re: Ανισότητα μεταξύ ολοκληρωμάτων

Re: Ανισότητα μεταξύ ολοκληρωμάτων

Μέλη σε σύνδεση