Να είναι συνεχής 10

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x^{2}f(x)+f(y)) = (f(x))^{3}+y ,$ για κάθε $x,y \in \Bbb{R}.$

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε (1) $f(x^{2}f(x)+f(y)) = (f(x))^{3}+y ,$ για κάθε $x,y \in \Bbb{R}.$

Η (1) για $\displaystyle{x=0}$ δίνει $\displaystyle{f(f(y))=(f(0))^3+y,\ \forall y \in \Bbb{R}}$ , άρα η $\displaystyle{f}$ είναι 1-1 και επί.

Λόγω της συνέχειας η $\displaystyle{f}$ θα είναι γνησίως μονότονη.

Από το επί βρίσκουμε ότι υπάρχει $\displaystyle{x_0 \in \Bbb{R}}$ ώστε $\displaystyle{f(x_0)=0}$

Η (1) για $\displaystyle{x=x_0}$ δίνει $\displaystyle{f(f(y))=y,\ \forall y \in \Bbb{R}}$ (2)

Εύκολα προκύπτει ότι $\displaystyle{f(0)=0}$

Αν η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως φθίνουσα, τότε από τη σχέση $\displaystyle{f(x^2f(x)+f(0))=(f(x))^3}$ παίρνουμε

$\displaystyle{0>x_1>x_2 \Rightarrow 0<(f(x_1))^3<(f(x_2))^3 \Rightarrow x_1^2f(x_1)>x_2^2f(x_2)}$ (3) και επειδή

$\displaystyle{{x_1^2 <x_2^2}$ (4) με πολλαπλασιασμό κατά μέλη των (3) και (4) έχουμε $\displaystyle{f(x_1)>f(x_2) \Rightarrow x_1<x_2}$ , αντίφαση

Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

Έστω ότι υπάρχει $\displaystyle{x_0}$ με $\displaystyle{f(x_0)>x_0}$ , τότε $\displaystyle{x_0=f(f(x_0))>f(x_0)>x_0}$ , άτοπο.

Έστω ότι υπάρχει $\displaystyle{x_0}$ με $\displaystyle{f(x_0)<x_0}$ , τότε $\displaystyle{x_0=f(f(x_0))<f(x_0)<x_0}$ , άτοπο.

Συνεπώς $\displaystyle{\boxed{f(x)=x,\ \forall x \in \Bbb{R}}}$ , που αληθεύει την συναρτησιακή εξίσωση.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=300783

#4

Τι γίνεται αν παραλείψουμε τη συνέχεια;

socrates έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 27, 2012 6:42 pm
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x^{2}f(x)+f(y)) = (f(x))^{3}+y ,$ για κάθε $x,y \in \Bbb{R}.$

Ορέστης Λιγνός · #5

socrates έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 27, 2012 6:42 pm
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x^{2}f(x)+f(y)) = (f(x))^{3}+y ,$ για κάθε $x,y \in \Bbb{R}.$

Ας το δούμε. Αρχίζουμε με κάποιους Ισχυρισμούς.

Ισχυρισμός 1: f(0)=0

.
Απόδειξη: Με χ=0

και $y \rightarrow x$ η δοσμένη δίνει f(f(x))=f^3(0)+x

, οπότε η

είναι επί. Ειδικότερα, υπάρχει

με

. Με

η αρχική δίνει f(0)=u

, οπότε

, και αφού f(f(0))=f^3(0)

, προκύπτει ότι f(0)=0

, όπως θέλαμε $\blacksquare$

Ισχυρισμός 2: Η

είναι ενέλιξη.
Απόδειξη: Άμεσο με x=0

στην δοσμένη $\blacksquare$

Ισχυρισμός 3: f(x^2f(x))=f^3(x)

.
Απόδειξη Άμεσο με y=0

στην δοσμένη $\blacksquare$

Ισχυρισμός 4: Η

είναι Cauchy.
Απόδειξη: Πρώτα δείχνουμε ότι για κάθε $x \in \mathbb{R}$ υπάρχει

ώστε

. Αφού η

είναι επί, υπάρχει

ώστε

. Για αυτό το

, είναι

, οπότε

, όπως θέλαμε. Τώρα, για κάθε

, αν ο

είναι τέτοιος ώστε r^2f(r)=x

, με

και $y \rightarrow f(y)$ η αρχική δίνει f(x+y)=f(x)+f(y)

, άρα πράγματι η

είναι Cauchy $\blacksquare$

Πίσω στο πρόβλημα, με y=x

στην

προκύπτει ότι f(2x)=2f(x)

και με

στην

έχουμε ότι 1=f(f(1)=f^3(1)

, οπότε

. Επίσης, με $x \rightarrow x+1$ στην ίδια σχέση, έχουμε (χρησιμοποιούμε ότι η

είναι Cauchy)

$f((x+1)^2f(x+1))=f^3(x+1) \Rightarrow f((x^2+2x+1)(f(x)+1))=(f(x)+1)^3$ , άρα

$f(x^2f(x)+x^2+2xf(x)+2x+f(x)+1)=f^3(x)+3f^2(x)+3f(x)+1 \Rightarrow$

f(x^2f(x))+f(x^2)+2f(xf(x))+2f(x)+x+1=f^3(x)+3f^2(x)+3f(x)+1

.

Αντικαθιστώντας f(x^2f(x))=f^3(x)

και κάνοντας τις απλοποιήσεις, προκύπτει ότι f(x^2)+2f(xf(x))+x=3f^2(x)+f(x)

. Με $x \rightarrow x+1$ σε αυτήν, έχουμε (χρησιμοποιούμε ότι η

είναι Cauchy)

$f((x+1)^2)+2f((x+1)f(x+1))+(x+1)=3f^2(x+1)+f(x+1) \Rightarrow$

f(x^2)+2f(x)+1+2f(xf(x))+2x+2f(x)+2+x+1=3f^2(x)+6f(x)+3+f(x)+1

, και αφού

f(x^2)+2f(xf(x))+x=3f^2(x)+f(x)

, προκύπτει ότι 3f^2(x)+5f(x)+2x+4=3f^2(x)+7f(x)+4

, το οποίο δίνει ότι f(x)=x

.

Τέλος, είναι άμεσο ότι η ταυτοτική επαληθεύει, άρα είναι και η μοναδική λύση, δηλαδή $f \equiv \rm id$ .

#6

#7

#8

Το συγγενικό πρόβλημα:
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $f(x^{2}f(x)+f(y)) = (f(x))^{3}+y ,$ για κάθε $x,y \in \Bbb{R}^+.$

εδώ:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 84&t=71595

Να είναι συνεχής 10

Να είναι συνεχής 10

Re: Να είναι συνεχής 10

Re: Να είναι συνεχής 10

Re: Να είναι συνεχής 10

Re: Να είναι συνεχής 10

Re: Να είναι συνεχής 10

Re: Να είναι συνεχής 10

Re: Να είναι συνεχής 10

Μέλη σε σύνδεση