Υπολογισμός ορίου

#1

Να υπολογίσετε το παρακάτω όριο...
$\displaystyle{\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \left( {\frac{1} {x}} \right)}} {{\sin \left( {\frac{1} {x}} \right)}} }$ .
Ποιά είναι η άποψη σας;

dement · #2

Θα ελεγα

. Το

ειναι οριακο σημειο του πεδιου ορισμου και κατα συνεπεια το οριο εχει νοημα. Το γεγονος οτι το

ειναι επισης οριακο σημειο του συμπληρωματικου του πεδιου ορισμου δε νομιζω οτι αλλαζει κατι.

Δημητρης Σκουτερης

giannisn1990 · #3

Χρήστο πιστεύω πως είναι ίσο με

αφού αν πάρουμε $\varepsilon>0$ και $\delta =\varepsilon$ τότε θα ισχύει $|1-1|<\varepsilon$

#4

Και όταν χ=1/π ή 1/2π ή ....1/νπ ; Ή χ=-1/π,-1/2π,....-1/νπ (ν->00);

#5

Εγώ λέω πως δεν υπάρχει. Σε κάθε διάστημα που περιέχει το 0, υπάρχουν χ για τα οποία το $\displaystyle \frac{sin(1/x)}{sin(1/x)}$ είναι απροσδιόριστο.

(Με πρόλαβε ο Χρήστος.)

#6

Δημήτρη, δε σε πρόλαβα εγώ . Είναι άσκηση απο το ''Α course of pure mathematics'' του G.H.Hardy.
Mιας και υπάρχει ο χρόνος, η όρεξη, αλλά και η ανάγκη να γίνω καλύτερος, έχω ανοίξει τα κιτάπια μου και...διαβάζω.
Σκέφτηκα πως θα είχε ενδιαφέρον...
Ο συγγραφέας λέει πως η συνάρτηση δεν ορίζεται για απειρία τιμών κοντά στο 0 ,αρα και το όριο παραμένει γι'αυτές τις τιμές στην απροσδιόριστη τιμή 0/0. Να'στε καλά κι ευχαριστώ για τη μαθηματική συμμετοχή σας...

dement · #7

Εγω παλι θα επιμεινω στη... διαφωνια μου! Το γεγονος οτι η συναρτηση δεν οριζεται για τιμες οσοδηποτε κοντα στο

δεν εχει σημασια - αρκει που οριζεται για τιμες οσοδηποτε κοντα στο

.

Αν δουμε τον ορισμο του οριου (π.χ. Rudin), βλεπουμε οτι:

$\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = l \Longleftrightarrow (x_0$ σημειο συσσωρευσης του $D_{(f)} \wedge \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 : \forall x \in D_{(f)} \ 0 < |x - x_0| < \delta \Longrightarrow |f(x) - l| < \epsilon)$

Ευκολα διαπιστωνουμε οτι η συναρτηση ικανοποιει τον ορισμο.

Αυτο που δεν υπαρχει, ομως, ειναι η παραγωγος στο

, ακομα κι αν οριζοταν στο

με

. Πραγματι, για την παραγωγο δεν αρκει το σημειο να ειναι σημειο συσσωρευσης του πεδιου ορισμου - πρεπει να ειναι εσωτερικο του σημειο. Εδω το γεγονος οτι η συναρτηση δεν οριζεται οσοδηποτε κοντα στο

αποκλειει την παραγωγιση.

Δημητρης Σκουτερης

#8

Δημήτρη, νομίζω η διαφωνία μας έγγυται στο πως ερμηνεύουμε το πρόβλημα: Εσύ λες ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το $\mathbb{R} \setminus \{\frac{n}{\pi}: n \in \mathbb{Z} \}$ . Σε αυτόν τον μετρικό χώρο δεν μπορώ να διαφωνήσω ότι το όριο υπάρχει και είναι 1. Εγώ λέω ότι το πρόβλημα αφορά τον $\mathbb{R}$ σαν μετρικό χώρο. Επειδή λοιπόν δεν μας έχουν δώσει όλες τις τιμές της συνάρτησης, και επειδή υπάρχουν σημεία όσο κοντά θέλουμε στο 0, δεν μπορεί να προσδιοριστεί το όριο.

Θα βάλω ένα παρόμοιο παράδειγμα σε λίγο που δείχνει πως πρέπει να είμαστε αρκετά προσεκτικοί με αυτά τα όρια.

dement · #9

Καλημερα Δημητρη.

Νομιζω πιασαμε ενα θεμα στο οποιο οι μικρες διαφορες στους ορισμους απο βιβλιο σε βιβλιο κανουν τη διαφορα! Σιγουρα η διαφωνια μας δεν εγκειται στον ορισμο του μετρικου χωρου. Ο ορισμος του οριου που ξερω καθιστα σαφες οτι η συναρτηση μπορει και να απεικονιζει υποσυνολο του μετρικου χωρου.

Αντιγραφω απο 'Αρχες Μαθηματικης Αναλυσης', W. Rudin:

Θεωρουμε δυο μετρικους χωρους X, Y

. Υποθετουμε οτι $E \subseteq X$ , οτι η συναρτηση

απεικονιζει το

στο

και οτι

ειναι ενα οριακο σημειο του

. Τοτε $\displaystyle \lim_{x \to p} f(x) = q$ αν και μονο αν για καθε $\epsilon > 0$ υπαρχει $\delta > 0$ τετοιο ωστε, για καθε $x \in E$ με $0 < d_X (x, p) < \delta$ ισχυει $d_Y (f(x), q) < \epsilon$ .

Ελπιζω να ειμαι σαφης - συμφωνα με τον Rudin, το οριο υπαρχει και ειναι

ακομα κι αν θεωρησουμε το $\mathbb{R}$ ολοκληρο ως το χωρο μας.

Δημητρης Σκουτερης

#10

Δημήτρη καλημέρα. Επειδή μιλάμε για μαθηματικά, αρα για κάτι ενιαίο, τολμώ να πω πως τον τελευταίο καιρό, που ''σκάβω'' για να μάθω ή να θυμηθώ πράγματα, ανακαλύπτω το γεγονός, πως πολλοί μεγάλοι μαθηματικοί, γράφουν
στα βιβλία τους κατα το δοκούν. Θυμίζω το θέμα της παράγουσας, πριν απο καιρό...Έχω σκανάρει πολλά θέματα που είναι γραμμένα και δοσμένα με διαφορετικό τρόπο, σε διαφορετικά βιβλία. Στο συγκεκριμένο , συμπεριλαμβανομένου των φτωχών γνώσεων που έχω στην τοπολογία ( οτι έκανα ήταν 20 χρόνια πριν!), η αντιληψη μου λέει πως δε μπορείς να βρείς διάστημα (-δ,δ) οσοδήποτε μικρό , γιατί μονίμως ξεφυτρώνουν αυτές οι αναθεματισμένες οι τιμές που προανέφερα.
Καλημέρα!

dement · #11

chris_gatos έγραψε:η αντιληψη μου λέει πως δε μπορίς να βρείς διάστημα (-δ,δ) οσοδήποτε μικρό , γιατί μονίμως ξεφυτρώνουν αυτές οι αναθεματισμένες οι τιμές που προανέφερα.
Καλημέρα!

Σ'αυτο εχεις δικιο Χρηστο αλλα δεν ειναι εκει το θεμα. Το θεμα ειναι αν αυτο εχει ως συνεπεια τη μη υπαρξη του οριου. Συμφωνα με τον ορισμο του Rudin (και με των περισσοτερων, απ'οσο εχω δει) οχι, αλλα μου φαινεται πως υπαρχουν και οι αντιθετοι συγγραφεις!

Θα με ευχαριστουσε να ακουσω τις αποψεις των πιο πεπειραμενων μελων του forum.

Δημητρης Σκουτερης

#12

Παρομοίως, ελπίζω να το κάνουν...

antonis_math · #13

Να δώσω κι εγώ μια απάντηση; Θέλουμε το όριο της συνάρτησης f(x)=1 με πεδίο ορισμού το R-{1/κπ, kεZ}, στο χ=0.Το χ=0 είναι σημείο συσσώρευσης.
Σύμφωνα με τον ορισμό, το όριο υπάρχει, και ίσο με 1. Υπάρχει λάθος σε αυτό;

#14

Εαν μπορέσεις Αντωνη, να βρείς σύνολο,(-δ,δ)-{0} και να μη διακόπτεται απο 1/κπ , τότε ναι είναι 1.
Μπορείς όμως; Ικανοποιείται ο ορισμός του σημείου συσσώρευσης μιας και το αναφέρεις;

dement · #15

Βεβαιως ικανοποιειται, Χρηστο. Το x_0

ειναι σημειο συσσωρευσης του

αν υπαρχουν στοιχεια του

(διαφορα του x_0

) οσοδηποτε κοντα του ακομα κι αν υπαρχουν στοιχεια που δεν ανηκουν στο Α οσοδηποτε κοντα του.

Κατα συνεπεια, στην περιπτωση μας το

ειναι σημειο συσσωρευσης του πεδιου ορισμου.

Μη συγχεεις το σημειο συσσωρευσης με το εσωτερικο σημειο, που σημαινει οτι, περα απο καποια ελαχιστη αποσταση, ολα τα σημεια της περιοχης του x_0

ανηκουν στο

.

Δημητρης Σκουτερης

#16

Mαθηματικη ανάλυση louis brand :
Aν r συγκεκριμένος πραγματικός αριθμός και δ τυχαίος θετικός, τότε το σύνολο των σημείων του ΑΝΟΙΚΤΟΥ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ μήκους 2δ , r-δ<χ<r+δ, ονομάζεται δ-περιοχή του r. Για κάθε εκλογή δ έχουμε μια αντίστοιχη περιοχή του r.
ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΥΣΣΩΡΕΥΣΗΣ
Ένα σημείο ξ που μπορεί να ανήκει ή να μην ανήκει σ'ένα σύνολο S, λέγεται σημείο συσσώρευσης του s αν κάθε ΠΕΡΙΟΧΗ
του ξ, οσοδήποτε μικρή περιέχει ένα σημείο του συνόλου διαφορετικό απο το ξ.
Το ερώτημα μου είναι ...
Μπορούμε να μιλάμε για περιοχή, όταν για κάθε (-δ,δ)-{0} μπορώ να βρώ 1/κπ που δεν ορίζεται η συνάρτηση, ώστε στη συνέχεια να μιλήσουμε και για το σημείο συσσώρευσης; Δε νομίζω πως συγχέω κάτι. Πεντακάθαρο είναι..

dement · #17

chris_gatos έγραψε:Mαθηματικη ανάλυση louis brand :
Aν r συγκεκριμένος πραγματικός αριθμός και δ τυχαίος θετικός, τότε το σύνολο των σημείων του ΑΝΟΙΚΤΟΥ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ μήκους 2δ , r-δ<χ<r+δ, ονομάζεται δ-περιοχή του r. Για κάθε εκλογή δ έχουμε μια αντίστοιχη περιοχή του r.
ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΥΣΣΩΡΕΥΣΗΣ
Ένα σημείο ξ που μπορεί να ανήκει ή να μην ανήκει σ'ένα σύνολο S, λέγεται σημείο συσσώρευσης του s αν κάθε ΠΕΡΙΟΧΗ
του ξ, οσοδήποτε μικρή περιέχει ένα σημείο του συνόλου διαφορετικό απο το ξ.

Θαυμασια.

Το ερώτημα μου είναι ...
Μπορούμε να μιλάμε για περιοχή, όταν για κάθε (-δ,δ)-{0} μπορώ να βρώ 1/κπ που δεν ορίζεται η συνάρτηση, ώστε στη συνέχεια να μιλήσουμε και για το σημείο συσσώρευσης;

Φυσικα μπορουμε. Που ειναι το προβλημα; Οι περιοχες του

δεν εξαρτωνται σε τιποτα απο το πεδιο ορισμου της συναρτησης. Ξανακοιτα τον ορισμο που εδωσες. Βλεπεις να υπεισερχεται το

στον ορισμο της περιοχης;

Δημητρης Σκουτερης

#18

Δε ξέρω βρε Δημήτρη κάτι δε μου αρέσει.

#19

Συγνώμη για την αργοπορημένη απάντηση.

Το 0 είναι σημείο συσσώρευσης του συνόλου $A = \mathbb{R} \setminus \{n/2\pi : n \in \mathbb{Z} \}$ .

Το ερώτημα όπως λέει και ο Δημήτρης είναι αν αυτό συνεπάγεται την ύπαρξη του ορίου ή όχι. Σύμφωνα με τον ορισμό του Rudin, το όριο υπάρχει.

Δημήτρη, όταν έλεγα πως το εγώ σκεφτόμουν ολόκληρο τον $\mathbb{R}$ σαν μετρικό χώρο δεν έιχα εκφραστεί καλά. Εννοούσα ότι σκεφτόμουν το $\mathbb{R}$ σαν πεδίο ορισμού για το οποίο όμως δεν μας έχουν δοθεί ορισμένες τιμές. Τώρα που το ξανασκέφτομαι όμως νομίζω πως έχεις δίκιο. Έτσι όπως ορίζεται η συνάρτηση δεν μπορεί παρά το πεδίο ορισμού να είναι μόνο το Α και για αυτό το πεδίο ορισμού, ο ορισμός πράγματι λέει ότι υπάρχει το όριο.

Αυτά που πράγματι με είχε μπερδέψει είναι τι γίνεται με τον κανόνα του l'Hopital. (Δείτε εδώ.) Δυστυχώς έχω τον Rudin στο σπίτι και δεν μπορώ να δώ την ακριβή πρόταση. Με τον ορισμό του Rudin, ο κανόνας του l'Hopital όπως βρίσκεται στην wikipedia μου φαίνεται λάθος. (Δεν είναι αρκετά σαφής έτσι κι'αλλιώς.) Ο μόνος τρόπος που βλέπω να σώζεται είναι να απαιτήσεις η g' να μην είναι ποτέ 0 σε κάποιο διάστημα της μορφής $(a,\infty)$ .

#20

Eγω παρ'αύτα δε μπορω να καταλάβω γιατί το 0 είναι σημείο συσσώρευσης, αλλά καταλαβαίνω πως απο εδώ και πέρα θα αναφερόμαστε σε ''όριο κατά Rudin'', ''όριο κατά Brand'', ''όριο κατά Hardt'' κτλ,κτλ,κτλ,κτλ!

Υπολογισμός ορίου

Υπολογισμός ορίου

Re: Υπολογισμός ορίου

Re: Υπολογισμός ορίου

Re: Υπολογισμός ορίου

Re: Υπολογισμός ορίου

Re: Υπολογισμός ορίου

Re: Υπολογισμός ορίου

Re: Υπολογισμός ορίου

Re: Υπολογισμός ορίου

Re: Υπολογισμός ορίου

Re: Υπολογισμός ορίου

Re: Υπολογισμός ορίου

Re: Υπολογισμός ορίου

Re: Υπολογισμός ορίου

Re: Υπολογισμός ορίου

Re: Υπολογισμός ορίου

Re: Υπολογισμός ορίου

Re: Υπολογισμός ορίου

Re: Υπολογισμός ορίου

Re: Υπολογισμός ορίου

Μέλη σε σύνδεση