'Αλλη μία άσκηση από τον Πλάτωνα

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4212
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

'Αλλη μία άσκηση από τον Πλάτωνα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Σάβ Απρ 30, 2011 12:39 am

Να εξετασθεί αν υπάρχει συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [0,\infty) με f' γνησίως φθίνουσα στο [0,\infty), f'(0) = 0 και για την οποία ισχύει f(x)>0 για κάθε x \in [0, \infty).

Η προηγούμενη άσκηση του Πλάτωνα είναι εδώ:
viewtopic.php?f=61&p=69295#p69295
Για την μεταφορά: Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10616
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: 'Αλλη μία άσκηση από τον Πλάτωνα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Απρ 30, 2011 8:07 am

Ενδιαφέρον.

Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση: Για κάθε x > 1 υπάρχει \xi > 1
τέτοιο ώστε

\displaystyle {f(x) = f(1) + f^{\prime}(\xi) (x-1)  < f(1) + f^{\prime}(1) (x-1) \rightarrow -\infty}.

(έγινε χρήση των f^{\prime}(\xi)<f^{\prime}(1)<f^{\prime}(0)=0)

Φιλικά,

Μιχάλης


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4212
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: 'Αλλη μία άσκηση από τον Πλάτωνα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Σάβ Απρ 30, 2011 11:44 pm

nsmavrogiannis έγραψε:Να εξετασθεί αν υπάρχει συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [0,\infty) με f' γνησίως φθίνουσα στο [0,\infty), f'(0) = 0 και για την οποία ισχύει f(x)>0 για κάθε x \in [0, \infty).
Mihalis_Lambrou έγραψε:...Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση
'Ετσι είναι Μιχάλη. Ελαφρώς διαφορετικά: Η γραφική παράσταση της κοίλης f πρέπει να βρίσκεται κάτω από οποιαδήποτε εφαπτομένη και υπάρχει εφαπτομένη με αρνητική κλίση άρα η συνάρτηση πρέπει στο +\infty να έχει όριο το -\infty και επομένως δεν μπορεί να είναι παντού θετική.

Η απόδειξη που έκανε ο ίδιος ο Πλάτωνας Παπαδόπουλος είναι αρκετά εκτενής και δεν την αναφέρω.
Η ιστορία του πράγματος:
Πριν τις διακοπές είχα πάει στο σχολείο το ανακεφαλαιωτικό διαγώνισμα
download/file.php?id=11840
που δόθηκε στα Λύκεια περιφέρειας Βορείου Αιγαίου:
viewtopic.php?f=55&t=14554&p=77110#p77110
Την Παρασκευή πριν κλείσουμε για διακοπές ο συνάδελφος Γεράσιμος Κουτσανδρέας επίσης καθηγητής του Πλάτωνα με πληροφόρησε πως ο Πλάτωνας είχε επισημάνει πως συνάρτηση με τις υποθέσεις του 4ου θέματος δεν υπήρχε.
pp.png
pp.png (15.81 KiB) Προβλήθηκε 856 φορές
Το έλεγξα και εγώ και ζήτησα με mail από τον Πλάτωνα την άδεια να ανεβάσω την επισήμανση του την οποία ανέβασα υπό μορφή άσκησης.

Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
m.pαpαgrigorakis
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1183
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
Τοποθεσία: Χανιά
Επικοινωνία:

Re: 'Αλλη μία άσκηση από τον Πλάτωνα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από m.pαpαgrigorakis » Κυρ Μάιος 01, 2011 12:38 am

nsmavrogiannis έγραψε:... Πλάτωνας είχε επισημάνει πως συνάρτηση με τις υποθέσεις του 4ου θέματος δεν υπήρχε.
pp.png
Το έλεγξα και εγώ και ζήτησα με mail από τον Πλάτωνα την άδεια να ανεβάσω την επισήμανση του την οποία ανέβασα υπό μορφή άσκησης.

Μαυρογιάννης
Νίκο εκπληκτικό !!!
Και να σκεφτεί κανείς ότι το είδαν τόσα μάτια !
Συγχαρητήρια στον Πλάτωνα!!

Μίλτος


kastoras
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 01, 2011 4:03 pm

Re: 'Αλλη μία άσκηση από τον Πλάτωνα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kastoras » Κυρ Μάιος 01, 2011 7:23 pm

Μόλις με ενημέρωσε φίλος, μέλος του Mathematica και έτρεξα να ενημερωθώ.

Μπράβο Πλάτωνα. Σου Αξίζουν Πολλά Συγχαριτήρια.

Θα πρέπει να είμαστε πολύ προσεκτικοί γιατί έτσι δεν βοηθάμε αλλά απογοητεύουμε τους μαθητές μας.


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4212
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: 'Αλλη μία άσκηση από τον Πλάτωνα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Κυρ Μάιος 01, 2011 8:41 pm

Σημείωση: Το παρακάτω μήνυμα γράφτηκε με αφορμή ένα μήνυμα του νέου μέλους μας kastoras το οποίο ήταν ειρωνικό και έντονα επικριτικό για τους συντελεστές του συγκεκριμένου διαγωνίσματος. Υπήρχε αυτούσιο το μήνυμα σε quote. Ωριμότερη σκέψη οδήγησε το μέλος μας kastoras να αλλάξει το μήνυμα του αντικαθιστώντας το με άλλο ηπιότερο οπότε η παράθεση του αρχικού δεν έχει νόημα.

Αγαπητέ kastoras
Κατ΄αρχάς καλώς ήλθες στο mathematica.

Πράγματι στον Πλάτωνα Παπαδόπουλο αξίζουν συγχαρητήρια για την οξυδέρκεια του να δει κάτι που πολλοί από μας δεν μπορέσαμε να δούμε. Συμπεριλαμβάνω ανάμεσα σε αυτούς και τον εαυτό μου: 'Ελυσα τα θέματα με χαρτί και μολύβι χωρίς να δω ότι η υπόθεσή ήταν κενή.

Από την άλλη μεριά αξίζουν και συγχαρητήρια στους συναδέλφους της περιφέρειας Βορείου Αιγαίου που πρωτοπόρησαν οργανώνοντας τις εξετάσεις για να βοηθήσουν καλλίτερα τους μαθητές τους παρακάμπτοντας την στενή δημοσιοϋπαλληλική νοοτροπία του τύπου "δουλεύω το minimum". Το εξεταστικό δοκίμιο κατά τα άλλα ήταν καλό και κοντά σε αυτό που ονομάζεται "πνεύμα" των εξετάσεων. Επομένως είναι άδικο να απευθύνουμε σε αυτούς τους ανθρώπους ψόγο για κάτι που ήταν προφανώς ατύχημα. Όσοι έχουν πραγματική εμπειρία σε πραγματική σύνθεση διαγωνισμάτων, επιλογή θεμάτων κτλ αντιλαμβάνονται πόσο εύκολο είναι να συμβεί ένα κάτι τέτοιο.

Ωστόσο από τέτοια ατυχήματα (ένα άλλο εθνικής κλίμακας συνέβη στις Γενικές Εξετάσεις του 1997) μπορούμε να επωφεληθούμε παίρνοντας κάποια διδάγματα. Πρέπει πάντα να έχουμε κατά νου ότι το κυνήγι των εξαντρίκ θεμάτων μπορεί να μας οδηγήσει, κατά την διάρκεια του πειραματισμού μας, σε μαθηματικά αντικείμενα που δεν υπάρχουν. Οι συναρτήσεις αποτελούν ένα παράδειγμα. Παλαιότερα είχαμε γεμίσει με εντυπωσιακές ασκήσεις πινάκων που ή δεν υπήρχαν πίνακες που ικανοποιούσαν τις υποθέσεις τους ή ήταν μόνο ο μηδενικός.
'Ενας ασφαλής τρόπος είναι η άσκηση να "χτίζεται" πάνω σε κάποια υπαρκτή συνάρτηση. Επίσης δεν είναι κακό να δίνονται και ασκήσεις με συγκεκριμένες συναρτήσεις και να ζητείται κάποιο μη τετριμμένο αποτέλεσμα.

Δυστυχώς έχουμε λίγο πολύ όλοι εμπλακεί σε ένα φαύλο κύκλο όπου ούτε στοιχειώδη απειροστικό λογισμό (calculus) διδάσκουμε ούτε ανάλυση αλλά εκτρέφουμε ένα μικρομέγαλο τερατίδιο που συντηρείται από τα θέματα των εξετάσεων και τα αναπαράγει χρόνο με τον χρόνο. Κάνουμε παρόμοιες ασκήσεις με εκείνες των εξετάσεων και οι άνθρωποι που βάζουν κάθε χρονιά θέματα φροντίζουν να μην απομακρυνθούν πολύ από τα θέματα στα οποία προετοιμάζονται τα παιδιά. Κάποια στιγμή αυτός ο φαύλος κύκλος πρέπει να διακοπεί και να διδάσκουμε στα παιδιά ουσιώδη Μαθηματικά που ταιριάζουν στην ηλικία τους. Και που είναι πλήρη νοήματος και δεν αναμένουν νοηματοδότηση επειδή "τέτοια πέφτουν".

Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης