σύνθεση κυρτών συναρτήσεων

Christos.N · #1

Με την προϋπόθεση ότι εργαζόμαστε αποκλειστικά με την ύλη του σχολικού βιβλίου, ας εξετάσουμε την πρόταση:

Έστω $\displaystyle{f,g:A \to R}$ δύο κυρτές συναρτήσεις όπου $\displaystyle{g\left( A \right) = A}$ . Ορίζουμε την σύνθεση $\displaystyle{f \circ g:A \to R}$ . Να εξετάσουμε αν η σύνθεση τους είναι κυρτή συνάρτηση.

Λάμπρος Μπαλός · #2

Christos.N έγραψε:Με την προϋπόθεση ότι εργαζόμαστε αποκλειστικά με την ύλη του σχολικού βιβλίου, ας εξετάσουμε την πρόταση:

Έστω $\displaystyle{f,g:A \to R}$ δύο κυρτές συναρτήσεις όπου $\displaystyle{g\left( A \right) = A}$ . Ορίζουμε την σύνθεση $\displaystyle{f \circ g:A \to R}$ . Να εξετάσουμε αν η σύνθεση τους είναι κυρτή συνάρτηση.

Για τις $f(x)=x^{2}$ και $g(x)=(x-1)^{2}$ στο $[0,+ \infty)$ νομίζω πως δεν ισχύει.

Διόρθωση

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

tdsotm111 · #3

Δεν ισχύει πάντα...

makisman · #4

Μια σκέψη γραφοντας από κινητό . Γενικά νομίζω αν τα συνολα τιμων των παραγώγων περιέχουν ετερόσημες τιμές και αγνοώντας την μονοτινία της

τοτε δεν πρεπει να ειναι κυρτη η fog

αφου εχει παραγωγο f'(g(x)) g'(x)

και το γινομενο δυο γν. αυξουσων συναρτήσεων δεν ειναι παντα γν αύξουσα.

BAGGP93 · #5

Νομίζω πως με τις δοθείσες υποθέσεις, δηλαδή, $\displaystyle{A}$ - κυρτό (δηλαδή διάστημα) , $\displaystyle{f\,,g:A\to \mathbb{R}}$ κυρτές, $\displaystyle{g(A)=A}$

και την επιπρόσθετη υπόθεση ότι η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα (μάλιστα αρκεί το αύξουσα), τότε το ζητούμενο ισχύει.

Christos.N · #6

tdsotm111 έγραψε:Δεν ισχύει πάντα...

Σε πολύ καλό δρόμο φίλε μου, αλλά δεν ισχύει η υπόθεση $\displaystyle{g\left( A \right) = A}$ , ακόμα και αν το περιορίσουμε θα έχουμε ένωση δύο ξένων διαστημάτων.

makisman έγραψε:Μια σκέψη γραφοντας από κινητό . Γενικά νομίζω αν τα συνολα τιμων των παραγώγων περιέχουν ετερόσημες τιμές και αγνοώντας την μονοτινία της τοτε δεν πρεπει να ειναι κυρτη η αφου εχει παραγωγο και το γινομενο δυο γν. αυξουσων συναρτήσεων δεν ειναι παντα γν αύξουσα.

Κάνω ακριβώς την ίδια σκέψη αλλά δεν βρίσκω αντιπαράδειγμα.

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:
Για τις $f(x)=x^{2}$ και $g(x)=(x-1)^{2}$ στο $[0,+ \infty)$ νομίζω πως δεν ισχύει.

Διόρθωση
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Ναι! Καλά κρασιά! Το αφήνω να το βλέπω και να μουτζώνομαι!

Ψάχνω αντιπαράδειγμα και ότι στήνω κάπου κολλάει καλή ώρα, ας μην είμαστε σκληροί με τον εαυτό μας.

BAGGP93 έγραψε:Νομίζω πως με τις δοθείσες υποθέσεις, δηλαδή, $\displaystyle{A}$ - κυρτό (δηλαδή διάστημα) , $\displaystyle{f\,,g:A\to \mathbb{R}}$ κυρτές, $\displaystyle{g(A)=A}$

και την επιπρόσθετη υπόθεση ότι η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα (μάλιστα αρκεί το αύξουσα), τότε το ζητούμενο ισχύει.

Ναι Βαγγέλη αρκεί να έχουμε επιπρόσθετα $\displaystyle{f'\left( {g\left( x \right)} \right) \geqslant 0}$ . Μένει να καταρρίψουμε την πρόταση που διατύπωσα με ένα αντιπαράδειγμα και αν βρίσκαμε ένα πολύ απλό (σχολικό) ακόμα πιο καλά.

Λάμπρος Μπαλός · #7

Σε πολύ καλό δρόμο φίλε μου, αλλά δεν ισχύει η υπόθεση $\displaystyle{g\left( A \right) = A}$ , ακόμα και αν το περιορίσουμε θα έχουμε ένωση δύο ξένων διαστημάτων.

Δεν λειτουργεί στο $[-1,+ \infty)$ ;

Christos.N · #8

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:
Σε πολύ καλό δρόμο φίλε μου, αλλά δεν ισχύει η υπόθεση $\displaystyle{g\left( A \right) = A}$ , ακόμα και αν το περιορίσουμε θα έχουμε ένωση δύο ξένων διαστημάτων.

Δεν λειτουργεί στο $[-1,+ \infty)$ ;

Ναι γιατί $\displaystyle{g\left( R \right) = [ - 1, + \infty ) \subset R}$ , άρα χάνεται το κοινό πεδίο ορισμού ,το κρατάμε όμως γιατί είναι το καλύτερο βήμα.

makisman · #9

$f(x) =e^{-x},x\in(-1,0)$ .

$g(x) =x^2-1,x\in(-1,0)$ .

$(fog)(x) =e^{-x^2+1},x\in(-1,0)$ .

Η σύνθεση αλλάζει κυρτότητα στο $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

: pic.jpg (60.09 KiB) Προβλήθηκε 1939 φορές

EDIT : έβαλα σχήμα και διόρθωσα πρόσημο στην f(x)

Λάμπρος Μπαλός · #10

Εννοώ τις

$f: [-1, + \infty) \rightarrow R$ , $f(x)=x^{2}$

$g: [-1, + \infty) \rightarrow R$ , $g(x)=x^{2}-2x$

#11

Δεν έχω απάντηση για την εύρεση της γενικότερης συνθήκης ώστε η σύνθεση κυρτών να είναι κυρτή. Αλλά μία μερική απάντηση υπάρχει εδώ:
viewtopic.php?f=61&p=79730#p79730
Μαυρογιάννης

tdsotm111 · #12

Ψάχνοντας βρήκα αυτό το λήμμα:

Christos.N · #13

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Εννοώ τις

$f: [-1, + \infty) \rightarrow R$ , $f(x)=x^{2}$

$g: [-1, + \infty) \rightarrow R$ , $g(x)=x^{2}-2x$

makisman έγραψε: $f(x) =e^x, g(x) =x^2-1,x\in(-1,0)$ , εντελως στο μυαλο, το λιο πιθανι να μην κανει.

Το φτιάξαμε....

Σας ευχαριστώ όλους.

#14

Καλησπέρα σε όλους

Υπάρχει άλλη μια απόδειξη εδώ (εκτός ύλης λυκείου)
με λιγότερες απαιτήσεις για τις συναρτήσεις που εμπλέκονται .

Υ.Γ. Η κυρτότητα στην Τέχνη

Christos.N · #15

Συνοψίζω:

Έστω $\displaystyle{f,g:A \to R}$ δύο κυρτές συναρτήσεις όπου $\displaystyle{g\left( A \right) = A}$ . Ορίζουμε την σύνθεση $\displaystyle{f \circ g:A \to R}$ . Τότε η σύνθεση τους είναι κυρτή συνάρτηση.

Η παραπάνω πρόταση είναι λάθος, αντιπαράδειγμα:

Έστωσαν

$f: [-1, + \infty) \rightarrow R$ , $f(x)=x^{2}$ και $g: [-1, + \infty) \rightarrow R$ , $g(x)=x^{2}-2x$ με $\displaystyle{g\left( {[ - 1, + \infty )} \right) = [ - 1, + \infty )}$

τότε $\displaystyle{f\left( {g\left( x \right)} \right) = {\left( {{x^2} - 2x} \right)^2} \Rightarrow {\left( {f\left( {g\left( x \right)} \right)} \right)^\prime } = 4x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}$ η οποία κάμπτεται στα σημεία $\displaystyle{\left( {\frac{{ - \sqrt 3 + 3}}{3},f\left( {g\left( {\frac{{ - \sqrt 3 + 3}}{3}} \right)} \right)} \right)}$ και $\displaystyle{\left( {\frac{{ \sqrt 3 + 3}}{3},f\left( {g\left( {\frac{{ \sqrt 3 + 3}}{3}} \right)} \right)} \right)}$ .

Γραφικά:

: Καταγραφή.PNG (17.69 KiB) Προβλήθηκε 2022 φορές

Αφορμή:

Πολλά παιδιά στο ερώτημα Γ3 των φετινών θεμάτων κάναν χρήση της παραπάνω πρότασης (χωρίς βέβαια να την αποδεικνύουν) η οποία έχει κάποια αλήθεια όπως είδαμε υπό προϋποθέσεις-προσθήκες όμως (βλέπε Βαγγέλη ή Γιώργο-tdsotm111). Επειδή μου φάνηκε χρήσιμη πρόταση και θα μας χρειαστεί στα μαθήματα που θα κάνουμε από την νέα χρονιά θέλησα να την μοιραστώ. Καθησύχασα τον βασικό μου προβληματισμό όμως μένουν πολλά υπό διερεύνηση με αφορμή αυτήν την πρόταση. Ένα από αυτά είναι κάποιες ιδιαίτερες συνθήκες της πρώτης παραγώγου ώστε η δεύτερη παράγωγος να είναι μη αρνητική. Το λήμμα που βρήκαν και παρουσίασαν οι Γιώργος-tdsotm111 το οποίο ισχυρίστηκε και πιο πριν ο Βαγγέλης θεωρούν αύξουσες συναρτήσεις, τι θα συνέβαινε άραγε αν χαλαρώσουμε αυτήν την συνθήκη.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

BAGGP93 · #16

Christos.N έγραψε:

Το λήμμα που βρήκαν και παρουσίασαν οι Γιώργος-tdsotm111 το οποίο ισχυρίστηκε και πιο πριν ο Βαγγέλης θεωρούν αύξουσες συναρτήσεις, τι θα συνέβαινε άραγε αν χαλαρώσουμε αυτήν την συνθήκη.

Χρήστο, πώς μπορούμε να τη χαλαρώσουμε ; Πάντως, η συνθήκη της αύξουσας συνάρτησης είναι καλή.

mathematica.gr

σύνθεση κυρτών συναρτήσεων

σύνθεση κυρτών συναρτήσεων

Re: σύνθεση κυρτών συναρτήσεων

Re: σύνθεση κυρτών συναρτήσεων

Re: σύνθεση κυρτών συναρτήσεων

Re: σύνθεση κυρτών συναρτήσεων

Re: σύνθεση κυρτών συναρτήσεων

Re: σύνθεση κυρτών συναρτήσεων

Re: σύνθεση κυρτών συναρτήσεων

Re: σύνθεση κυρτών συναρτήσεων

Re: σύνθεση κυρτών συναρτήσεων

Re: σύνθεση κυρτών συναρτήσεων

Re: σύνθεση κυρτών συναρτήσεων

Re: σύνθεση κυρτών συναρτήσεων

Re: σύνθεση κυρτών συναρτήσεων

Re: σύνθεση κυρτών συναρτήσεων

Re: σύνθεση κυρτών συναρτήσεων

Μέλη σε σύνδεση