Ύπαρξη συνάρτησης

Συντονιστής: emouroukos

Απάντηση
fmak65
Δημοσιεύσεις: 762
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 6:59 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη

Ύπαρξη συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από fmak65 » Σάβ Μαρ 20, 2021 2:27 pm

Την παρακάτω άσκηση μου την έδωσε ο γυιός μου Παύλος και είπε ότι λύνεται με γνώσεις Γ' Λυκείου. Του άρεσε και μου είπε να την ανεβάσω.
Έστω f:[0,1]->[0,1] με f(0)=1,f(1)=0, γνησίως φθίνουσα, συνεχής, και f(f(x))=x για κάθε x\in[0,1]. Να δείξετε ότι υπάρχει γνησίως αύξουσα συνεχής g:[0,1]->\mathbb{R} με g(0)=0 τέτοια ώστε f(x)=g^{-1}(g(1)-g(x))


Μαραντιδης Φωτης
Λέξεις Κλειδιά:
Συναρτήσεις
Κορυφή
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3714
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ύπαρξη συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μαρ 21, 2021 8:01 pm

fmak65 έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 20, 2021 2:27 pm
 Την παρακάτω άσκηση μου την έδωσε ο γυιός μου Παύλος και είπε ότι λύνεται με γνώσεις Γ' Λυκείου. Του άρεσε και μου είπε να την ανεβάσω.
Έστω f:[0,1]->[0,1] με f(0)=1,f(1)=0, γνησίως φθίνουσα, συνεχής, και f(f(x))=x για κάθε x\in[0,1]. Να δείξετε ότι υπάρχει γνησίως αύξουσα συνεχής g:[0,1]->\mathbb{R} με g(0)=0 τέτοια ώστε f(x)=g^{-1}(g(1)-g(x))
Υπάρχει μοναδικό 0<x_0<1 με f(x_0)=x_0.

Θεωρούμε μια οποιαδήποτε συνεχή

\displaystyle g:[0,x_0]\rightarrow \mathbb{R} γνησίως αύξουσα με g(0)=0.

Για x>x_0 θέτουμε

g(x)=2g(x_0)-g(f(x))

Και στο [x_0,1] η g είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα.
(το αύξουσα θέλει ελάχιστη δουλειά).
Επίσης είναι 2g(x_0)=g(1).

Η σχέση που ζητείται είναι ισοδύναμη με την
\displaystyle g(f(x))=g(1)-g(x)
και προφανώς ισχύει από κατασκευή στο [x_0,1]

Για 0<x<x_0 θέτουμε t=f(x) όπου f(x)>x_0.

Είναι g(t)=2g(x_0)-g(f(t))

και επειδή f(t)=x (λόγω της f(f(x))=x)
παίρνουμε αυτό που θέλουμε


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης