L'Hospital

#1

Θεωρούμε τις συναρτήσεις $f(x)=x+\cos x \sin x$ και $g(x)=e^{\sin x}f(x)$ στο $\mathbb{R}$ . Να δειχθεί ότι

$\displaystyle{\lim_{x\to +\infty} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}=0}$ ,

αλλά το όριο

$\displaystyle{\lim_{x\to +\infty} \dfrac{f(x)}{g(x)}}$ δεν υπάρχει.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#2

Παρατηρούμε ότι

$\displaystyle{f\left( x \right) > x - 1}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$

(γιατί $\displaystyle{\cos x\sin x > - 1}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ )

και $\displaystyle{g\left( x \right) > {e^{ - 1}}\left( {x - 1} \right)}$ για κάθε $\displaystyle{x > 1}$ .

Επομένως, είναι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = + \infty }$ .

Υπολογίζουμε ότι

$\displaystyle{f^{\prime}\left( x \right) = 2{\cos ^2}x}$

και

$\displaystyle{g^{\prime}\left( x \right) = \left( {{e^{\sin x}}\cos x} \right)\left( {2\cos x + f\left( x \right)} \right)}$ ,

οπότε, αν $\displaystyle{\cos x \ne 0}$ και $\displaystyle{x \ge 3}$
(ώστε $\displaystyle{2\cos x + f\left( x \right) > 2\cos x + x - 1 \ge 2\left( {1 + \cos x} \right) \ge 0}$ ),
θα έχουμε ότι

$\displaystyle{\frac{{f^{\prime}\left( x \right)}}{{g^{\prime}\left( x \right)}} = \frac{{2{e^{ - \sin x}}\cos x}}{{2\cos x + f\left( x \right)}}}.$

Παρατηρούμε τώρα ότι για $\displaystyle{x \ge 3}$ έχουμε ότι

$\displaystyle{\left| {\frac{{2{e^{ - \sin x}}\cos x}}{{2\cos x + f\left( x \right)}}} \right| = \frac{{2{e^{ - \sin x}}\left| {\cos x} \right|}}{{2\cos x + f\left( x \right)}} < \frac{{2e\left| {\cos x} \right|}}{{2\cos x + x - 1}} \le \frac{{2e\left| {\cos x} \right|}}{{x - 3}},}$

οπότε

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f^{\prime}\left( x \right)}}{{g^{\prime}\left( x \right)}} = 0.}$

Εξάλλου, το όριο

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {e^{ - \sin x}}}$

δεν υπάρχει, όπως φαίνεται άμεσα χρησιμοποιώντας τις ακολουθίες $\displaystyle{{x_n} = 2n\pi }$ και $\displaystyle{{y_n} = 2n\pi + \frac{\pi }{2}}$ , για τις οποίες ισχύουν

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {y_n} = + \infty }$

και

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {e^{ - \sin {x_n}}} = 1}$ , $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {e^{ - \sin {y_n}}} = {e^{ - 1}}.}$

Το πρόβλημα υπάρχει γιατί η συνάρτηση $\displaystyle{g^{\prime}}$ έχει ρίζα σε κάθε περιοχή του $\displaystyle{ + \infty }$ . Στο παράδειγμά μας, οι ρίζες της $\displaystyle{g^{\prime}}$ "απλοποιούνται" με τις ρίζες της $\displaystyle{f^{\prime}}$ και η αναγκαιότητα της υπόθεσης $\displaystyle{g^{\prime} \neq 0}$ είναι εμφανής.

#3

Να προσθέσω μόνο ότι το παράδειγμα του Αχιλλέα υπάρχει και στον απειροστικό του Νεγρεπόντη σελίδα 446 και στο συνημμένο υπάρχουν μερικά "αντιπαραδείγματα" μαζεμένα στον κανόνα DLH

vasisot · #4

Ένα ακόμα παράδειγμα που δείχνει ότι είναι απαραίτητη η συνθήκη, να υπάρχει περιοχή του σημείου συσσώρευσης, στην οποία να μην μηδενίζεται η παράγωγος του παρονομαστή.

Επομένως ο κανόνας L'Hôpital όπως διατυπώνεται στο σχολικό βιβλίο Μαθηματικά (Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης) είναι λάθος.

Η σωστή διατύπωση εδώ L'Hôpital's rule.

L'Hospital

L'Hospital

Re: L'Hospital

Re: L'Hospital

Re: L'Hospital

Μέλη σε σύνδεση