Πρόβλημα

Rafaelcrete · #1

Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ δύο φορές παραγωγίσιμη.Υποθέτουμε f(0)=0

.Δείξε ότι υπάρχει $\xi \in \left(\frac{-\pi}{2},\right\frac{\pi}{2})$ τέτοιο ώστε
$\displaystyle{f''(\xi)=f(\xi)(1+2\tan ^2 \xi)}$

Rafaelcrete · #2

Επαναφορά !

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Rafaelcrete έγραψε:Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ δύο φορές παραγωγίσιμη.Υποθέτουμε .Δείξε ότι υπάρχει $\xi \in \left(\frac{-\pi}{2},\right\frac{\pi}{2})$ τέτοιο ώστε
$\displaystyle{f''(\xi)=f(\xi)(1+2\tan ^2 \xi)}$

Δεν είναι καιρός Ραφαήλ να βάλεις την λύση;
Ο κανονισμός αναφέρει ότι αυτός που βάζει την άσκηση θα πρέπει κάποια στιγμή(αν δεν έχει λυθεί)
να βάλει την λύση.(εκτός αν έχει ρητά δηλώσει ότι δεν έχει λύση)
Βέβαια ο κανονισμός (κακώς κατά την γνώμη μου)δεν βάζει χρονικό περιορισμό.
Νομίζω βέβαια δεν εννοεί τρία χρόνια.
Θεωρώ ότι ο κανονισμός πρέπει ρητά να αναφέρει τον χρονικό περιορισμό.
Γιατί και τα 1003 χρόνια για μας τους μαθηματικούς είναι μικρός αριθμός.

Rafaelcrete · #4

θεωρώ την συνάρτηση g(x)=f(x)cosx

.Επειδή $g(\frac{-\pi}{2})=g(0)=g(\frac{\pi}{2})=0$ από θεώρημα Rolle υπάρχουν $s\in (\frac{-\pi}{2},0)$ και $t\in(0,\frac{\pi}{2})$ τέτοια ώστε g'(s)=g'(t)=0

.Τώρα θεωρώ την συνάρτηση $h(x)=\frac{g'(x)}{cos^{2}(x)}$ .Παρατηρώ ότι h(s)=h(t)=0

οπότε πάλι από θεώρημα Rolle υπάρχει $z\in(s,t)$ τέτοιο ώστε h'(z)=0

.Κάνοντας πράξεις από εδώ και πέρα καταλήγω στο ζητούμενο(συγγνώμη κιόλας αλλά μου παίρνει πολύ ώρα να γράφω σε Latex γιαυτό δεν κάνω τις πράξεις-Δεν έχω εξοικειωθεί με την γλώσσα αυτή ακόμη)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Είναι από την IMC-2013
http://www.imc-math.org.uk/imc2013/IMC2 ... utions.pdf
Υπάρχει και φυσιολογική λύση.
Με την πρώτη ευκαιρία θα την γράψω.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Νομίζω ότι τέτοια προβλήματα πρέπει να αντιμετωπίζονται
με το Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών το οποίο εκτός των συνεχών συναρτήσεων
ισχύει και για συναρτήσεις που είναι παράγωγοι συναρτήσεων.
Οι λόγοι είναι δύο.
1)Πρέπει να σπάσεις το κεφάλι σου για να βρεις την συνάρτηση(όπως εδώ)και να εφαρμόσεις ΘΜΤ
2)Υπάρχει περίπτωση να μην βρίσκετε συνάρτηση για να εφαρμοσθεί ΘΜΤ.
Στην λύση που θα περιγράψω παρακάτω θα μπορούσαμε να ψάχναμε $\xi$
ώστε $f''(\xi )=f(\xi )(\sqrt{5}+\frac{1}{10}\left | \tan \xi \right |^{\frac{3}{2}})$

Ξεκινάμε την λύση.
Λόγω του ΘΕΤ αν δεν ισχύει θα έχουμε $f''(x)> f(x)(1+\tan ^{2}x),x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$
(αν ισχύει

παίρνουμε την

)

Για

δίνει

(1)

1περίπτωση. $f'(0)\geq 0$

Λόγω της (1) θα υπάρχει $\delta > 0$ ώστε
$x\in (0,\delta )\Rightarrow f'(x)> f'(0)\geq 0$
Αρα στο $(0,\delta )$ βγαίνει αύξουσα και κατόπιν κυρτή.

Η

δεν μηδενίζετε στο $(0,\frac{\pi }{2})$ .
Γιατί αν

η πρώτη ρίζα της (υπάρχει τέτοια αλλά δεν μπορώ να τα γράψω τώρα)
τότε στο (0,r)

η

θα είναι κυρτή και $f(0)=f(r)=0,f(x)> 0,x\in (0,r)$
Κάτι τέτοιο δεν μπορεί να γίνει.(αφήνω τις λεπτομέριες)

Συμπεραίνουμε οτι υπάρχει m> 0

ώστε
$x\in (\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})\Rightarrow f(x)> m$

Εφαρμόζουμε ΘΜΤ στο $[x,\frac{\pi }{2}]$ για την

Εχουμε $\dfrac{f'(\frac{\pi }{2})-f'(x)}{\frac{\pi }{2}-x}=f''(\xi )> f(\xi )(1+\tan ^{2}\xi )> m\tan ^{2}x$
γιατί $x< \xi$

Τελικά είναι $f'(\frac{\pi }{2})-f'(x)> m(\frac{\pi }{2}-x)\tan ^{2}x$ (2)

Επειδή $\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}^{-}}(\frac{\pi }{2}-x)\tan ^{2}x=\infty$
και η

είναι φραγμένη σε κλειστά διαστήματα παίρνοντας όρια στην (2) έχουμε ΑΤΟΠΟ.

2περίπτωση. f'(0)< 0

Κάνουμε τα ίδια στό $(-\frac{\pi }{2},0)$

Πρόβλημα

Πρόβλημα

Re: Πρόβλημα

Re: Πρόβλημα

Re: Πρόβλημα

Re: Πρόβλημα

Re: Πρόβλημα

Μέλη σε σύνδεση