ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Rafaelcrete · #1

Έστω $f:R\rightarrow R$ τέτοια ώστε
$e^{2f(x)}+f^{3}(x)=2x+cosx$
Να αποδείξεις ότι η f(x)

είναι παραγωγίσιμη.

#2

Rafaelcrete έγραψε:Έστω $f:R\rightarrow R$ τέτοια ώστε
$e^{2f(x)}+f^{3}(x)=2x+cosx$
Να αποδείξεις ότι η είναι παραγωγίσιμη.

Ορίζουμε $g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ ως $g(x)=e^{2x}+x^3$ . Η

είναι παραγωγίσιμη και παίρνοντας όρια στα $\pm \infty$ εύκολα βλέπουμε ότι έχει σύνολο τιμών το $\mathbb R$ . Επειδή $g'(x) = 2e^{2x} + 3x^2 >0$ , η

είναι γνήσια αύξουσα και άρα αντιστρέψιμη, και βέβαια η αντίστροφη είναι παραγωγίσιμη.

Η δοθείσα γράφεται g(f(x)) = 2x+cosx

, οπότε $f(x) = g^{-1}(2x+cosx)$ . Προφανώς το δεξί μέλος είναι παραγωγίσιμη, άρα και η

. ό.έ.δ.

Μ.