Κυρτή συνάρτηση φράγμα

mikemoke · #1

Έστω παραγωγίσιμη $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
για κάποιο $x_0 \in \mathbb{R}$ ισχύει ότι f(x_0)=0=f'(x_0)

και $f(x)>0 \forall x<x_0$ .

Να εξεταστεί αν υπάρχει g(x)

παραγωγίσιμη και κυρτή στο $(-\infty,x_0)$
με g(x_0)=0=g'(x_0)

και $g(x)\geq f(x)\forall x\in(-\infty,x_0)$
και υπάρχει $\left \{ x_n \right \}$ γνησίως αύξουσα ακολουθία με $x_n\rightarrow x_0$ τέτοια ώστε $g(x_n)=f(x_n)\forall n \in \mathbb{N}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

mikemoke έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 17, 2018 5:06 pm
Έστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
για κάποιο $x_0 \in \mathbb{R}$ ισχύει ότι και $f(x)>0 \forall x<x_0$ .

Να εξεταστεί αν υπάρχει παραγωγίσιμη και κυρτή στο $(-\infty,x_0)$
με και $g(x)\geq f(x)\forall x\in(-\infty,x_0)$
και $g(x)=f(x)\Rightarrow x=\left \{ x_n \right \}$ όπου $\left \{ x_n \right \}$ γνησίως αύξουσα ακολουθία με $x_n\rightarrow x_0$

Σημείωση : $x=\left \{ x_n \right \}$ σημαίνει $x=x_1\vee x=x_2\vee ...\vee x=x_n$

Η

τι είναι;

Παραγωγίσημη; δύο φορές παραγωγίσημη; η τίποτα.

Επίσης στην $x=\left \{ x_n \right \}$ σημαίνει $x=x_1\vee x=x_2\vee ...\vee x=x_n$ εννοείς ότι υπάρχει

$n\in \mathbb{N}$ με x=x_n

;

mikemoke · #3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 19, 2018 11:26 am

mikemoke έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 17, 2018 5:06 pm
Έστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
για κάποιο $x_0 \in \mathbb{R}$ ισχύει ότι και $f(x)>0 \forall x<x_0$ .

Να εξεταστεί αν υπάρχει παραγωγίσιμη και κυρτή στο $(-\infty,x_0)$
με και $g(x)\geq f(x)\forall x\in(-\infty,x_0)$
και $g(x)=f(x)\Rightarrow x=\left \{ x_n \right \}$ όπου $\left \{ x_n \right \}$ γνησίως αύξουσα ακολουθία με $x_n\rightarrow x_0$

Σημείωση : $x=\left \{ x_n \right \}$ σημαίνει $x=x_1\vee x=x_2\vee ...\vee x=x_n$
Η τι είναι;

Παραγωγίσημη; δύο φορές παραγωγίσημη; η τίποτα.

Επίσης στην $x=\left \{ x_n \right \}$ σημαίνει $x=x_1\vee x=x_2\vee ...\vee x=x_n$ εννοείς ότι υπάρχει

$n\in \mathbb{N}$ με ;

Μια φορά παραγωγίσιμη είναι .

Εννοώ για όλα τα $n \in\mathbb{N}$ .

#4

Εξακολουθώ να μην καταλαβαίνω τι σημαίνει η τελευταία συνθήκη.

mikemoke · #5

Demetres έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 19, 2018 11:51 am
Εξακολουθώ να μην καταλαβαίνω τι σημαίνει η τελευταία συνθήκη.

Κάθε όρος της ακολουθίας (x_n)

να ικανοποιεί την g(x)=f(x)

.

mikemoke · #6

mikemoke έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 17, 2018 5:06 pm
Έστω παραγωγίσιμη $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
για κάποιο $x_0 \in \mathbb{R}$ ισχύει ότι και $f(x)>0 \forall x<x_0$ .

Να εξεταστεί αν υπάρχει παραγωγίσιμη και κυρτή στο $(-\infty,x_0)$
με και $g(x)\geq f(x)\forall x\in(-\infty,x_0)$
και υπάρχει $\left \{ x_n \right \}$ γνησίως αύξουσα ακολουθία με $x_n\rightarrow x_0$ τέτοια ώστε $g(x_n)=f(x_n)\forall n \in \mathbb{N}$

Θα αποδείξουμε το γενικότερο . Πρόταση (A)
Έστω παραγωγίσιμη $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
για κάποιο $a \in \mathbb{R}$ ισχύει ότι f(a)=l ,f'(a)=l_1

με $l,l_1 \in \mathbb{R}$
Ισχύει και η υπόθεση $\Upsilon$ (βλέπε πιο κάτω)
Τότε υπάρχει h(x)

κυρτή και παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με g(a)=l,g'(a)=l_1

και υπάρχει $\left \{ x_n \right \}$ γνησίως φθίνουσα ακολουθία με $x_n\rightarrow x_0$ τέτοια ώστε $g(x_n)=f(x_n)\forall n \in \mathbb{N}$

Θα αποδείξουμε πρώτα ότι υπάρχει h_1

κυρτή και παραγωγίσιμη που να είναι άνω φράγμα της

σε μια περιοχή του

και μετά να επεκταθούμε και στο $\mathbb{R}$ . (1)

Έστω

και $\varepsilon \varphi (x)$ την εφαπτομένη της

στο

Kάνουμε την υπόθεση $\Upsilon$
ότι $\forall \delta >0 \exists \xi \in(a,a+\delta ):f(\xi )>\varepsilon \varphi (x)$
Αν δεν ισχύει η παραπάνω υπόθεση τότε $\exists \delta _1>0:\forall x\in(a,a+\delta _1) f(x)<\varepsilon \varphi (x)$
και τότε έπεται το (1)

Έστω

με $(\varepsilon \varphi (x))'<k <\frac{f(\xi )-f(a)}{\xi -a}$
τότε $\exists \delta _2>0:\forall x\in(a,a+\delta _2) f(x)<y(x)$ και $f(a+\delta _2)=y(a+\delta _2)$ (2)

Aν $\nexists \Rightarrow \exists \left \{ z_n \right \}$ φθίνουσα ακολουθία με $z_n\rightarrow a$
τέτοια ώστε $f(z_n)\geq y(x) \forall n\in\mathbb{N} , x\in\mathbb{R}$
Άρα $\lim_{n \to \infty}\frac{f(z_n)-f(a)}{z_n-a}\geq k >(\varepsilon \varphi (x))'$
ATOΠΟ αφού $f'(a)=\lim_{n \to \infty}\frac{f(z_n)-f(a)}{z_n-a}=(\varepsilon \varphi (x))'$

Έστω $x_0=a+\delta _2$
υπάρχει διαμέριση $d\equiv \left \{ x_0>x_1>x_2>...>x_n>...>a \right \}$ του [a,x_o]

και $x_n\rightarrow a$
τέτοια ώστε $\varepsilon \varphi (x)<f(x_1)$
και $g_{n+1}(x)<f(x_{n+1})<y_n(x)$ για $x_n\in (i_{n+1},x_n) , n\in\mathbb{N}$
$\varepsilon \varphi (x)<f(x_{n+1})<y_n(x)$ για $x_n\in (a,i_{n+1}) , n\in\mathbb{N}$
με $\left \{ i_{n+1} \right \}$ για την οποία ισχύει $i_{n+1} \equiv x\in(a,x_0):g_{n+1}(x)=\varepsilon \varphi (x) \forall n \in \mathbb{N}$

Ορίζουμε $A_0\equiv (x_0,f(x_0)),A_1\equiv (x_1,f(x_1)),..., A_n\equiv (x_n,f(x_n))$
και ως y_n

ευθεία διερχόμενη από σημεία O,A_n

και ως $g_{n+1}$ ευθεία διερχόμενη από σημεία $A_n,A_{n+1}$

Από (2)

έχουμε $f(x)<y_n(x) \forall x\in(a,x_n)\forall n\in \mathbb{N}$

Έστω ότι $\exists \left \{ \xi _n \right \}$ ακολουθία με $x_{n+1}<\xi_n<x_{n}$ για κάθε

εν

( μη φραγμένο υποσύνολο του $\mathbb{N}$ τέτοια ώστε
$d((\xi _n,f(\xi _n)),g_{n+1}(x))=max (d((x,f(x)),g_{n+1}(x))\left \{ x\in(x_{n+1},x_{n}) \right \}$
και $f(\xi _n)\geq g_{n+1}(x)$
και την καλούμε περίπτωση (I)

Aπό αυτά μπορούμε να συνάγουμε ότι
$f'(\xi _n)=\frac{f(x_n)-f(x_{n+1})}{x_n-x_{n+1}}$
και $\varepsilon \varphi _n(x)\geq f(x) \forall x\in(x_{n+1},x_n)\forall n\in\mathbb{N}$
με $\varepsilon \varphi _n(x)$ την εφαπτομένη της

σε σημείο $(\xi _n,f(\xi _n))$

Παρατηρούμε ότι $\lim_{n \to \infty}\lambda (A_j,A_n)=y'_k(x)$ με $j\in\mathbb{N}$
Άρα μπορούμε να επιλέξουμε κάθε x_n

με $\left ( n\in\mathbb{N}|n>n_0 \right )$ όπου n_0

το ελάχιστο στοιχεία του

ώστε να ισχύει $\varepsilon \varphi _{\mu _1}(x)=\varepsilon \varphi _{\mu _2}(x)\Leftrightarrow x=p<\xi _{\mu _1}$
$\forall \mu _1<\mu _2$ διαδοχικούς όρους εν

και $x_{\mu _1}>x_{\mu _2}$

Συνάγουμε ότι $f(x)<g_{n+1}(x) \forall x\in(x_{n+1},x_n) \forall n\in(\mu _1+1,\mu _2-1)$

Αν $\nexists \left \{ \xi _n \right \}\Rightarrow \exists \beta >0 :f(x)<g_{n+1}(x) \forall x\in(x_{n+1},x_n) \forall n\in N_1\subseteq \mathbb{N}$ όπου $N_1 \equiv \left \{ n\in\mathbb{N} |x_n \in(a,a+\beta ) \right \}$
την οποία καλούμε περίπτωση (II)

Eπομένως κατασκευάζεται h_1

που να φράσει την

για μια περιοχή του

ώστε τα

στην περιοχή να είναι x>a

Λόγω συμμετρία έχουμε τα ίδια για περιοχή του

ώστε

Άρα αποδείχθηκε το (1)

Προφανώς η (A)

ισχύει στην περίπτωση (I)

Άρα μένει η (II)

Άρα έχουμε $g'_n(x)\leq f'(x_n)\leq g'_{n+1}(x) \forall n>1 ,n\in\mathbb{N}$

AN $\exists \gamma >0:g'_n(x)<f'(x_n)< g'_{n+1}(x) \forall x\in(x_{n+1},x_n) \forall (n\in \mathbb{N}|x_n\in(a,a+\gamma))$
Από (1)

έχουμε ότι $\exists h_1$ που εφάπτεται σε $A_n\forall n \in N_1$
και φράσει άνω την

για κάθε $x\in \pi (x_n)$ όπου $\pi (x_n)$ περιοχή του x_n

Aπό

έχουμε ότι $\nexists x\in(x_{n+1},x_n):f(x)=g_{n+1}(x)\forall x\in(x_{n+1},x_n) \forall n\in N_1$

Άρα $h_1(x)>f(x)\forall x\in (x_{n+1},x_n)\forall n\in N_1$ και $h_1(x_n)=f(x_n)\forall n\in N_1$
Άρα έπεται η (A)

Αλλιώς $\exists \left \{ k_n \right \}$ υπακολουθία της $\left \{ x_n \right \}$ τέτοια ώστε :
$(k_n,k_{n+1})\neq (x_m,x_{m+1}) \forall n,m \in \mathbb{N}$
και f'(x_n)=g'_n(x)

ή $f'(x_n)=g'_{n+1}(x)$ με $\left ( n\in\mathbb{N}|x_n=k_m \right ) m\in\mathbb{N}$

Από (1)

υπάρχει κυρτή , παραγωγίσιμη $h(x)>f(x)\forall x\in\pi (k_n)$

$\exists x_0\in\pi (k_n),x_0<k_n:h'(x_0)>\frac{h(x_0)-f(k_n)}{x_0-k_n}$

Aπό αυτά έπεται η (A)

για την περίπτωση (II)

Κυρτή συνάρτηση φράγμα

Κυρτή συνάρτηση φράγμα

Re: Κυρτή συνάρτηση φράγμα

Re: Κυρτή συνάρτηση φράγμα

Re: Κυρτή συνάρτηση φράγμα

Re: Κυρτή συνάρτηση φράγμα

Re: Κυρτή συνάρτηση φράγμα

Μέλη σε σύνδεση