Άνω φράγμα

KARKAR · #1

: Φράγμα.png (14.36 KiB) Προβλήθηκε 1049 φορές

Με αφορμή αυτή . Για x>0

και για

, ισχύει :

e^x>x^a+1

, ενώ δεν ισχύει για a=3

( δείξτε το ! ) .

Μπορούμε άραγε να βρούμε το μέγιστο άνω φράγμα για τον

, ώστε να είναι : $e^x>x^a+1 , \forall x>0$ ;

Σημείωση : Στο σχήμα φαίνεται ότι για $a=\dfrac{5}{2}$ ισχύει , αντίθετα δεν ισχύει για a=e

...

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 30, 2020 7:29 am
Με αφορμή αυτή . Για και για , ισχύει :

, ενώ δεν ισχύει για ( δείξτε το ! ) .

Μπορούμε άραγε να βρούμε το μέγιστο άνω φράγμα για τον , ώστε να είναι : $e^x>x^a+1 , \forall x>0$ ;

Σημείωση : Στο σχήμα φαίνεται ότι για $a=\dfrac{5}{2}$ ισχύει , αντίθετα δεν ισχύει για ...

Δεν ισχύει για a=3

διότι για

έχουμε

.

Για το βέλτιστο a>1

παρατηρούμε ότι για ανισότητα της μορφής e^x>x^a+1

σίγουρα ισχύει στο διάστημα $x\in (0,1)$ διότι e^x>x+1>x^a+1

. Άρα προς έλεγχο είναι τα $x\ge 1$ . Σε αυτή την περίπτωση έχουμε ισοδύναμα

$\displaystyle{\ln (e^x-1) > a \ln x}$ που διαιρώντας με το (θετικό) $\ln x$ δίνει $\dfrac {\ln(e^x-1)}{\ln x} >a$ . Δηλαδή το βέλτιστο

είναι η ελάχιστη τιμή, αν υπάρχει, της $\dfrac {\ln(e^x-1)}{\ln x}$ στο $[1, \infty ]$ . Αυτή σίγουρα υπάρχει γιατί τα όριά της στο

και $+\infty$ είναι (άμεσο) $+\infty$ .

Με λογισμικό βρίσκω ότι το ολικό ελάχιστο της $\dfrac {\ln(e^x-1)}{\ln x}$ λαμβάνεται για $x\approx 2,39$ και η τιμή του είναι $\approx 2,6327$ . To τελευταίο επιβεβαιώνει (όσο πιστεύουμε τον από μηχανής θεό) τους ισχυρισμούς του Θανάση ότι 2,5<a<e

.

Άνω φράγμα

Άνω φράγμα

Re: Άνω φράγμα

Μέλη σε σύνδεση