Τιμές του λ

Tolaso J Kos · #1

Να βρεθούν οι τιμές του $\lambda \in \mathbb{R}$ ώστε $e^x - \lambda x \geq 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Άνευ λύσης!

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 21, 2020 11:11 am
Να βρεθούν οι τιμές του $\lambda \in \mathbb{R}$ ώστε $e^x - \lambda x \geq 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Άνευ λύσης!

Kαλημέρα Αποστόλη.

$\displaystyle f:R \to R,\;\;f\left( x \right) = {e^x} - \lambda x$

Είναι $\displaystyle f'\left( x \right) = {e^x} - \lambda$ .

Αν $\displaystle \lambda < 0$ , τότε $\displaystle f\; \nearrow$ στο

με $\displaystle \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty$ , οπότε δεν μπορεί να ισχύει το ζητούμενο της εκφώνησης.

Αν $\displaystle \lambda = 0$ , τότε $\displaystle f\left( x \right) = {e^x} > 0\;\;\forall x \in R$ .

Για $\displaystle \lambda > 0$ , $\displaystle f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \ln \lambda$ .

Είναι $\displaystle f'\left( x \right) < 0\;\;\gamma \iota \alpha \;x < \ln \lambda \;\; \vee f'\left( x \right) > 0\;\;\gamma \iota \alpha \;x > \ln \lambda \;$ , οπότε η

παρουσιάζει ελάχιστο στη θέση $\displaystle x{ & _0} = \ln \lambda$ με τιμή $\displaystle f\left( {\ln \lambda } \right) = \lambda - \lambda \ln \lambda$ .

Για να ισχύει το ζητούμενο της εκφώνησης πρέπει και αρκεί

$\displaystle \lambda - \lambda \ln \lambda \ge 0 \Leftrightarrow \lambda \left( {1 - \ln \lambda } \right) \ge 0 \Leftrightarrow \ln \lambda \le 1 \Leftrightarrow \lambda \le e$

Οπότε το ζητούμενο της εκφώνησης ισχύει όταν $\displaystle \lambda \in \left[ {0,\;e} \right]$ .

edit: Διόρθωσα και συμπλήρωσα την απάντηση με την υπόδειξη του Χρήστου στην παρακάτω ανάρτηση, διακρίνοντας τις περιπτώσεις $\lambda < 0$ και $\lambda = 0$ .

Christos.N · #3

Γιώργο καλημέρα.

Και για $\lambda=0$ ικανοποιείται η ανίσωση για κάθε $x\in\mathbb{R}$

Christos.N · #4

Ένας άλλος τρόπος είναι να θεωρήσουμε την συνάρτηση $f(x)=\dfrac{e^x}{x},~x\in\mathbb{R}^*$

Όταν x<0

έχουμε

Όταν

έχουμε $f(x)\ge e=f(1)$

Η αρχική ανίσωση αντίστοιχα είναι ισοδύναμη με την $f(x)\ge\lambda,~x>0$ και $f(x)\le\lambda,~x<0$ ενώ επαληθεύεται για κάθε τιμή του $\lambda$ αν x=0

. Εμείς ζητάμε να επαληθεύται για κάθε $x\in\mathbb{R}$ , άρα θα συναληθεύσουμε τα επιμέρους διατήματα ως προς $\lambda$ .

Για την πρώτη $\lambda\in(-\infty,e]$ γαι την δεύτερη $\lambda\in[0,+\infty)$ ενώ για την τρίτη περίπτωση $\lambda\in\mathbb{R}$

Τελικά $\lambda\in[0,e]$ .

Christos.N · #5

Νομίζω ότι το θέμα μπορεί να μεταφερθεί σε άλλο φάκελο, π.χ. "θέματα με απαιτήσεις" ή στον πιο ταιριαστό "θέματα σε όλη την ύλη".

vasisot · #6

Πρόκειται για την άσκηση

, $\Gamma '$ ομάδας κεφ

του σχολικού βιβλίου. Κατά τη γνώμη μου είναι μια πολύ όμορφη (δύσκολη) άσκηση που στηρίζεται στο περίφημο αξίωμα του μεγίστου κάτω φράγματος ( ή ισοδύναμα του ελαχίστου άνω φράγματος) .
$f(x)\ge k, \forall x \in \double R \Leftrightarrow \min f(x)\ge k ,$ όπου

το

ή το $\lambda$ ανάλογα με την επιλογή της f(x).

Tolaso J Kos · #7

Συνειδητοποιώ εκ των υστέρων ότι η τεχνική που εφαρμόστηκε εδώ μπορεί να δουλέψει και στο θέμα εδώ.

cretanman έγραψε:Αλέξανδρε το θυμάσαι;

Είναι $\displaystyle{e^x - \lambda x \geq 0 \Leftrightarrow e^x \geq \lambda x \Leftrightarrow \lambda x e^{-x} \leq 1 \Leftrightarrow f(x) \leq 1}$ . Η

είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με παράγωγο

$\displaystyle{f'(x) = \lambda e^{-x} \left ( 1- x \right )}$
Είναι $\displaystyle{f'(x) =0 \Leftrightarrow x=1}$ . Διακρίνουμε περιπτώσεις:

Αν $\lambda>0$ τότε η παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο ίσο με $\displaystyle{f(1) = \frac{\lambda}{e}}$ . Όμως $f(x) \leq 1$ οπότε $\lambda \leq e$ .
Αν $\lambda<0$ τότε η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο ίσο με $\displaystyle{f(1) =\frac{\lambda}{e}}$ . Οπότε η ανισότητα που μας δίδεται δε μπορεί να ισχύει για κάθε $\lambda <0$ διότι η ως συνεχής θα έχει σύνολο τιμών

$\displaystyle{f(\mathbb{R}) = \left [ f(1), \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) \right ) \cup \left [ f(1), \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) \right ) = \left [ \frac{\lambda}{e}, +\infty \right ) \cup \left [ \frac{\lambda}{e} , 0 \right ) = \left [ \frac{\lambda}{e}, +\infty \right )}$

οπότε απορρίπτεται.
Για $\lambda=0$ προφανώς η ανίσωση ισχύει για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Συναληθεύοντας λοιπόν έχουμε $\lambda \in [0, e]$ .

Υ.Σ: Αν μπορεί να μετακινηθεί στο ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ θα ήταν ωραίο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

Για να δούμε μια λύση με ακροβατικά.
Αν $\lambda < 0$ τότε για $x= \frac{1}{\lambda }$ παίρνουμε ότι
$\displaystyle e^{\frac{1}{\lambda }}>1$
ΑΤΟΠΟ.
Αν $\lambda > e$ τότε για x=1

εχουμε άτοπο.

Εστω $0\leq \lambda\leq e$

για x<0

τετριμμένα ισχύει.

Για $0\leq x$ είναι

$\displaystyle e^{x}=ee^{x-1}\geq e(1+x-1)=ex\geq \lambda x$

Αρα ισχύει αν και μόνο αν $0\leq \lambda\leq e$

Christos.N · #9

Ωραία λύση Σταυρό! Αλλά πολύ διαισθητική η σύλληψη.

Τιμές του λ

Τιμές του λ

Re: Τιμές του λ

Re: Τιμές του λ

Re: Τιμές του λ

Re: Τιμές του λ

Re: Τιμές του λ

Re: Τιμές του λ

Re: Τιμές του λ

Re: Τιμές του λ

Μέλη σε σύνδεση