Ας αποδείξουμε κάτι εύλογο ΙΙΙ

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Έστω συνεχής συνάρτηση $f\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ και πραγματικοί αριθμοί $\alpha<\beta$
Αν $f(\alpha)<f(\beta)$ τότε δείξτε ότι υπάρχουν $\gamma,\delta$ με $\alpha\le\gamma<\delta\le\beta$
ώστε να ικανοποιούνται αμφότερες οι συνθήκες:
1) $f(\alpha)=f(\gamma)$ και $f(\delta)=f(\beta)$
2) $f(\gamma)<f(x)<f(\delta)$ για κάθε $x \in ( \gamma , \delta )$

#2

Έστω $A = \{x \in [a,b]: f(x) = f(a)\}$ . Το

είναι μη κενό αφού $a \in A$ και άνω φραγμένο από το

άρα υπάρχει το $\gamma = \sup(A)$ . Από συνέχεια της

έχουμε $f(\gamma) = f(a)$ . [Έστω $\varepsilon > 0$ . Παίρνουμε $\delta > 0$ ώστε $|x-\gamma| < \delta \implies |f(x) - f(\gamma)| < \varepsilon$ . Αφού $\gamma = \sup(A)$ , υπάρχει $x \in A$ ώστε $x \leqslant \gamma < x + \delta$ . Τότε $|f(a) - f(\gamma)| = |f(x) - f(\gamma)| < \varepsilon$ . Αφού αυτό ισχύει για κάθε $\varepsilon > 0$ , τότε $f(a) = f(\gamma)$ .]

Ομοίως υπάρχει το $\delta = \inf\{x \in [a,b]:f(x) = f(b)\}$ και ισχύει ότι $f(\delta) = f(b)$ .

Επίσης, πρέπει $f(x) > f(\gamma)$ για κάθε $x > \gamma$ . Πράγματι πρέπει $f(x) \neq f(\gamma)$ αφού αυτό αντιβαίνει το γεγονός ότι $\gamma = \sup(A)$ . Αν $f(x_0) < f(\gamma)$ για κάποιο $x_0 > \gamma$ , τότε από θεώρημα ενδιάμεσων τιμών στο [x_0,b]

θα βρίσκαμε $c > x_0 > \gamma$ με f(c) = f(a)

, πάλι άτοπο.

Ομοίως πρέπει $f(x) < f(\delta)$ για κάθε $x < \delta$

Ας αποδείξουμε κάτι εύλογο ΙΙΙ

Ας αποδείξουμε κάτι εύλογο ΙΙΙ

Re: Ας αποδείξουμε κάτι εύλογο ΙΙΙ

Μέλη σε σύνδεση