Άνω και κάτω φράγμα εμβαδού

ksofsa · #1

Με αφορμή το θέμα εδώ, προτείνουμε προς απόδειξη τη διπλή ανισότητα:

$\dfrac{e^2-1}{2\sqrt[4]{e}}<E<\dfrac{e^2-1}{2}$ .

Το άνω φράγμα έχει προταθεί και αποδειχθεί στην παραπομπή.

Με το παρόν μήνυμα προτείνουμε το κάτω φράγμα, για το οποίο δε διαθέτουμε ακόμα λύση με σχολικά μέσα.

Ας σημειώσουμε ότι $\dfrac{e^2-1}{2\sqrt[4]{e}}> 2e-3$ .

#2

ksofsa έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 05, 2025 2:48 pm
Με αφορμή το θέμα εδώ, προτείνουμε προς απόδειξη τη διπλή ανισότητα:

$\dfrac{e^2-1}{2\sqrt[4]{e}}<E<\dfrac{e^2-1}{2}$ .

Το άνω φράγμα έχει προταθεί και αποδειχθεί στην παραπομπή.

Με το παρόν μήνυμα προτείνουμε το κάτω φράγμα, για το οποίο δε διαθέτουμε ακόμα λύση με σχολικά μέσα.

Ας σημειώσουμε ότι $\dfrac{e^2-1}{2\sqrt[4]{e}}> 2e-3$ .

Κώστα μπορούμε, με σχολικότατα μέσα: η εφαπτομένη της $y=e^{(lnx)^2}$ στο $(\sqrt{e},\sqrt[4]{e}})$ είναι η $y=\dfrac{1}{\sqrt[4]{e}}}x,$ και οι τομές της με τις x=1, x=e

είναι τα $(1,e^{-1/4}), (e, e^{3/4})$ ... που μαζί με τα (1,0), (e,0)

δημιουργούν ένα τραπέζιο εμβαδού $\dfrac{e^2-1}{2\sqrt[4]{e}}$ κάτω από την $y=e^{(lnx)^2}.$

ksofsa · #3

Κύριε Γιώργο, σωστά, έχετε δίκιο.

Βάζω και τη μη σχολική λύση, η οποία οδηγεί στο ίδιο ακριβώς κάτω φράγμα από άλλη οδό.

$\int_{1}^{e}e^{(lnx)^2}dx=\sqrt{\int_{1}^{e}\int_{1}^{e}e^{(lnx)^2+(lny)^2}dxdy}\ge \sqrt{\int_{1}^{e}\int_{1}^{e}e^{\frac{(lnx+lny)^2}{2}}dxdy}$

$\ge \sqrt{\int_{1}^{e}\int_{1}^{e}e^{ln(xy)-\frac{1}{2}}dxdy}=\dfrac{1}{\sqrt[4]{e}}\sqrt{\int_{1}^{e}\int_{1}^{e}xy dxdy}=\dfrac{e^2-1}{2\sqrt[4]{e}}$ .

Χρησιμοποιήθηκαν η ισότητα logx+logy=log(xy)

και οι ανισότητες $(logx)^2+(logy)^2\ge \frac{(logx+logy)^2}{2}$ και

$(log(xy))^2\ge 2log(xy)-1$ .

ksofsa · #4

Άλλη μία (σχολική) λύση:

$\int_{1}^{e}e^{(lnx)^2}dx\ge \int_{1}^{e}e^{lnx-\frac{1}{4}}dx=\dfrac{1}{\sqrt[4]{e}}\int_{1}^{e}xdx=\dfrac{e^2-1}{2\sqrt[4]{e}}$ .

Λάμπρος Μπαλός · #5

gbaloglou έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 05, 2025 11:05 pm

ksofsa έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 05, 2025 2:48 pm
Με αφορμή το θέμα εδώ, προτείνουμε προς απόδειξη τη διπλή ανισότητα:

$\dfrac{e^2-1}{2\sqrt[4]{e}}<E<\dfrac{e^2-1}{2}$ .

Το άνω φράγμα έχει προταθεί και αποδειχθεί στην παραπομπή.

Με το παρόν μήνυμα προτείνουμε το κάτω φράγμα, για το οποίο δε διαθέτουμε ακόμα λύση με σχολικά μέσα.

Ας σημειώσουμε ότι $\dfrac{e^2-1}{2\sqrt[4]{e}}> 2e-3$ .
Κώστα μπορούμε, με σχολικότατα μέσα: η εφαπτομένη της $y=e^{(lnx)^2}$ στο $(\sqrt{e},\sqrt[4]{e}})$ είναι η $y=\dfrac{1}{\sqrt[4]{e}}}x,$ και οι τομές της με τις είναι τα $(1,e^{-1/4}), (e, e^{3/4})$ ... που μαζί με τα δημιουργούν ένα τραπέζιο εμβαδού $\dfrac{e^2-1}{2\sqrt[4]{e}}$ κάτω από την $y=e^{(lnx)^2}.$

Υπέροχο!
Και θα το προτιμούσα να χτίζεται μέσα στην άσκηση.
Δείξτε ότι η f είναι κυρτή,
Βρείτε την εφαπτομένη που διέρχεται από την αρχή των αξόνων,
Αποδείξτε ότι $I> \frac{e^{2}-1}{2e^{\frac{1}{4}}}$ .
Δεν με ενδιαφέρει το άκομψο του αποτελέσματος ούτε και το καλύτερο φράγμα.
Τουλάχιστον υπάρχει μία ροή και καταλήγει κάπου. Εδώ τα ερωτήματα ήταν ξεκούδουνα χωρίς συνοχή.
Βάλε και ένα όριο, βάλε και μια τάχα εξίσωση που τη βρήκαμε από παλιά άσκηση με συνάρτηση ολοκλήρωμα, δώσε και για επιδόρπιο μια ανισότητα να βγαίνει από την εντελώς άσχετη βασική. Δεν είναι όμορφα πράγματα αυτά.

Άνω και κάτω φράγμα εμβαδού

Άνω και κάτω φράγμα εμβαδού

Re: Άνω και κάτω φράγμα εμβαδού

Re: Άνω και κάτω φράγμα εμβαδού

Re: Άνω και κάτω φράγμα εμβαδού

Re: Άνω και κάτω φράγμα εμβαδού

Μέλη σε σύνδεση