Ασυνεχής συνάρτηση

Συντονιστής: emouroukos

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Ασυνεχής συνάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Παρ Νοέμ 05, 2010 7:33 am

Καλημέρα :logo:
Αν a ένας σταθερός αρνητικός αριθμός και f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} μια συνάρτηση με [f(x)]^3+af(x)=x ,\forall x \in \mathbb{R}, να αποδειχθεί ότι η f είναι ασυνεχής.


Σπύρος Καπελλίδης
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Ασυνεχής συνάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Παρ Νοέμ 05, 2010 10:03 am

Γράφω τη βασική ιδέα τη λύσης:

Έστω a=-b^2<0. Αν μελετήσουμε τη γραφική παράσταση της y=x^3+ax , τότε αυτή τέμνει τον x-άξονα στα σημεία με τετμημένες x=-b, x=0 και x=b, είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (-\infty, -b/\sqrt{3}], και [b/\sqrt{3},\infty) και γνησίως φθίνουσα στο [-b/\sqrt{3},b/\sqrt{3}].
Έχει τοπικό μέγιστο \dfrac{2b^3}{\sqrt{3}} στο x=-b/\sqrt{3} και τοπ. ελάχιστο -\dfrac{2b^3}{\sqrt{3}} στο x=b/\sqrt{3}.


Τώρα, αν δούμε την καμπύλη y^3+ay=x, τότε αυτή διέρχεται από την αρχή των αξόνων, και είναι συμμετρική ως προς αυτήν. Από την παραπάνω μελέτη, έχουμε ότι τα σημεία με τετμημένη μεγαλύτερη του \frac{2b^3}{\sqrt{3}}, έχουν τεταγμένη \geq b>0, ενώ τα σημεία με τετμημένη μικρότερη του -\frac{2b^3}{\sqrt{3}}, έχουν τεταγμένη \leq- b<0.

Αν η f ήταν συνεχής, από τα παραπάνω, λοιπόν, και το θέωρημα Bolzano (αφού η f(x)\geq b>0 για x>\frac{2b^3}{\sqrt{3}} και f(x)\leq -b<0 για x<-\frac{2b^3}{\sqrt{3}} ), θα είχε μια ρίζα στο (-\frac{2b^3}{\sqrt{3}}, \frac{2b^3}{\sqrt{3}}). Αναγκαστικά, το σημείο που θα μηδενίζεται θα είναι το x=0, δηλ. f(0)=0.

Αλλά, τότε λόγω συνέχειας και μοναδικότητας της ρίζας, κι αφού f(x)\geq b>0 για x>\frac{2b^3}{\sqrt{3}} θα είναι f(x)\geq b για κάθε x\geq 0.

Συνεπώς, θα είναι 0=f(0)=\lim_{x\to 0}f(x)\geq b>0, άτοπο.

Φιλικά,

Αχιλλέας


k-ser
Δημοσιεύσεις: 870
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 10:22 am
Τοποθεσία: Μουζάκι Καρδίτσας
Επικοινωνία:

Re: Ασυνεχής συνάρτηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από k-ser » Παρ Νοέμ 05, 2010 12:27 pm

s.kap έγραψε: Αν a ένας σταθερός αρνητικός αριθμός και f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} μια συνάρτηση με [f(x)]^3+af(x)=x ,\forall x \in \mathbb{R}, να αποδειχθεί ότι η f είναι ασυνεχής.
Μια διαφορετική προσέγγιση.
Από την δοσμένη σχέση: προκύπτουν:
\displaystyle f(x)\left(f(x)-\sqrt{-a}\right)\left(f(x)+\sqrt{-a}\right)>0, \ \ \forall x>0.
και
\displaystyle f(x)\left(f(x)-\sqrt{-a}\right)\left(f(x)+\sqrt{-a}\right)<0, \ \ \forall x<0.

Αν υποθέσουμε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής τότε:

Οι \displaystyle f(x), \ \ f(x)-\sqrt{-a}, \ \ f(x)+\sqrt{-a} διατηρούν σταθερό πρόσημο στα (-\infty,0), \ \ (0,+\infty)

και θα είναι:

\dispalystyle f(x)>\sqrt{-a} ή \dispalystyle -\sqrt{-a}<f(x)<0 για κάθε x>0
και
\dispalystyle f(x)<-\sqrt{-a} ή \dispalystyle 0<f(x)<\sqrt{-a} για κάθε x<0

"Κατασκευαστικά" και με τη βοήθεια της [f(x)]^3+af(x)=x ,\forall x \in \mathbb{R} οι περιπτώσεις

\dispalystyle -\sqrt{-a}<f(x)<0 για κάθε x>0 και \dispalystyle 0<f(x)<\sqrt{-a} για κάθε x<0

οδηγούν σε κάτι αδύνατο.

Επομένως θα πρέπει: \dispalystyle f(x)>\sqrt{-a} για κάθε x>0 και \dispalystyle f(x)<-\sqrt{-a} για κάθε x<0 το οποίο, λόγω της συνέχειας της συνάρτησης στο 0, μας δίνει: \dispalystyle f(0)\leq\sqrt{-a} και \dispalystyle f(0)\geq -\sqrt{-a} το οποίο είναι άτοπο.


Κώστας Σερίφης
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Ασυνεχής συνάρτηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Παρ Νοέμ 05, 2010 1:20 pm

Και μία άλλη προσέγγιση:
Δουλεύουμε με απαγωγή σε άτοπο:
Αν υποθέσουμε ότι η f είναι συνεχής,τότε, λόγω της δοθείσας σχέσης θα είναι και 1-1
(εύκολο), άρα γνησίως μονότονη. Συνεπώς θα έχει όρια στο άπειρο. Αν ένα εξ' αυτών είναι πεπερασμένο, ας πούμε l, τότε παίρνοντας όρια στην δοθείσα με το x να τείνει στο συν ή πλην άπειρο, έχουμε l^3+al=\pm \infty, άτοπο.
Άρα τα όρια της στο άπειρο είναι μη πεπερασμένα, συνεπώς η f έχει σύνολο τιμών το \mathbb{R}(λόγω της ιδιότητας Darboux), άρα η αντίστροφή της, f^{-1}, ορίζεται στο \mathbb{R}
Αν θεωρήσουμε την g(x)=x^3+ax, x \in \mathbb{R}, τότε η δοθείσα σχέση γράφεται g(f(x))=x, \forall x \in \mathbb{R} και θέτοντας όπου x το f^{-1}(x) έχουμε g(x)=f^{-1}(x), \forall x \in \mathbb{R}.
Συνεπώς και η g είναι γνησίως μονότονη με το ίδιο είδος μονοτονίας που έχει η f, άρα η παράγωγός της g^{\prime}(x)=3x^2+a δεν αλλάζει πρόσημο στο \mathbb{R}, άτοπο, επειδή a<0.
Σχόλιο:Θα μπορούσαμε με τις ίδιες υποθέσεις να ζητήσουμε να αποδειχθεί ότι η δεν έχει ούτε την ιδιότητα Darboux
Φιλικά


Σπύρος Καπελλίδης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες