ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Συντονιστής: emouroukos

Κώστας Χαροκόπος
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Τρί Ιουν 15, 2010 10:59 am

ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κώστας Χαροκόπος » Πέμ Δεκ 02, 2010 2:11 pm

Καλημέρα σε όλους. Θα ήθελα την άποψη σας στο παρακάτω:

Δίνεται συνάρτηση \displaystyle{f(x)^{g(x)}}. Τι περιορισμούς πρέπει να θέσω στα πεδία ορισμού των f και g με την προυπόθεση ότι μιλάμε για διάστημα ή ενώσεις διαστημάτων των πραγματικών αριθμών;

Ευχαριστώ a priori.


pana1333
Δημοσιεύσεις: 1036
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pana1333 » Πέμ Δεκ 02, 2010 2:39 pm

Καλησπέρα Κώστα. Δες και εδώ....ίσως βοηθήσει...

viewtopic.php?f=57&t=632


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11547
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 02, 2010 10:28 pm

Κώστας Χαροκόπος έγραψε: Δίνεται συνάρτηση \displaystyle{f(x)^{g(x)}}. Τι περιορισμούς πρέπει να θέσω στα πεδία ορισμού των f και g με την προυπόθεση ότι μιλάμε για διάστημα ή ενώσεις διαστημάτων των πραγματικών αριθμών;
Ενδιαφέρον ερώτημα το οποίο ελέγχει κατά πόσο έχει ξεκαθαρίσει κανείς πότε ορίζεται και πότε δεν ορίζεται μία δύναμη. Συγκεκριμένα, αυτό που κατά την
γνώμη μου την κάνει ενδιαφέρουσα είναι

α) ο ορισμός της δύναμης είναι σταδιακός στα Σχολικά βιβλία. Αρχίζει, πολύ σωστά, από τις απλές περιπτώσεις όπου οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί ή ακέραιοι, και
επεκτείνεται (σε μεγαλύτερες τάξεις) σε γενικότερες περιπτώσες. Οπότε η πλήρης απάντηση στο ερώτημα απαιτεί να συμμαζέψει κανείς όλα όσα διδάχθηκε επι του θέματος.

β) για την τελική απάντηση λαμβάνονται υπόψη όχι μόνο τα πεδία ορισμού των f και g αλλά, περιέργως, και τα σύνολα τιμών.

Θα τα συνοψίσω εδώ ας γίνομαι ανιαρός, αλλά είναι για ώφελος των μαθητών μας.

Στον ορισμό του a^b λέμε

1) Αν b φυσικός > 0, το a επιτρέπεται να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός.

2) Κατόπιν επεκτείνουμε τον ορισμό στην περίπτωση του b = 0 ή b ίσον αρνητικός ακέραιος. Στην μεν περίπτωση του b = 0 επιτρέπουμε το a να είναι οποιοσδήποτε
εκτός από 0. Στην περίπτωση των υπόλοιπων αρνητικών ακεραίων, επιτρέπουμε όλα τα a.

3) Τέλος ορίζουμε το a^b για μεγαλύτερο εύρος εκθετών b, τους υπόλοιπους που δεν αναφέρθηκαν ακόμη. Σε αυτή την περίπτωση o a επιτρέπεται να είναι μόνο >0.

(Ας κάνω μία παρένθεση αλλά την οποία να μην διαβάσουν οι μαθητές μας: Σε κάποια εκπαιδευτικά συστήματα καθώς και σε ανώτερο στάδιο Μαθηματικών δεν είναι
ασύνηθες να γίνεται μία ακόμη προσθήκη: στην περίπτωση που ο b είναι περιττός φυσικός, b = 2n+1, τότε στον ορισμό του a^{1/(2n+1)} επιτρέπεται ο a να είναι και
αρνητικός. Στην χώρα μας, αυτή η επέκταση είναι εκτός ορισμού, οπότε δεν θα μας απασχολήσει εδώ).

Με όλα αυτά κατά νου, έρχομαι στον θέμα του πεδίου ορισμού της f(x)^{g(x)}, αν τα αντίστοιχα πεδία ορισμού τους είναι D_f, \,D_g.

Το πεδίο ορισμού πρέπει πρώτα από όλα να θεωρεί τα κοινά χ στα D_f, \,D_g. για να έχουν νόημα οι γραφές f(x), g(x). Βρισκόμαστε λοιπόν στο D_f \cap D_g.

Από αυτά, λόγω της της 3) επιτρέπονται τα x με f(x) > 0, όποιος και να είναι ο εκθέτης. Δηλαδή επιτρέπονται τα x στο
D_f \cap D_g\cap f^{-1} \{(0, +\infty)\}

Επίσης, από τα x στο D_f \cap D_g αν τύχει και είναι f(x) = 0, θέλουμε μόνο τα χ όπου ο εκθέτης g(x) είναι > 0. H περίπτωση αυτή είναι βέβαια το
σύνολο D_f \cap D_g\cap f^{-1}( \{0 \}) \cap g^{-1}(0, +\infty)

Τέλος, στην περίπτωση της αρνητικής βάσης, f(x) < 0, επιτρέπονται ως εκθέτες και οι αρνητικοί ακέραιοι. Δηλαδή μιλάμε για το
σύνολο D_f \cap D_g\cap f^{-1} \{( -\infty, 0) \}) \cap g^{-1}\{ \mathbb Z \}.

Το ζητούμενο πεδίο ορισμού είναι η ένωση των παραπάνω. Δηλαδή είναι (από την επιμεριστική ιδιότητα) το

D_f \cap D_g\cap \left(f^{-1} \{(0, +\infty)\} \cup   (f^{-1}( \{0 \}) \cap g^{-1}(0, +\infty)  ) \cup  (f^{-1} \{( -\infty, 0) \}) \cap g^{-1}\{ \mathbb Z \})  \right)

Εκ πρώτης όψεως το σύνολο αυτό δείχνει τέρας, στη πράξη όμως δεν είναι. Εδώ η μεγάλη παράσταση οφείλεται στο ότι συζητάμε το πρόβλημα στη
γενικότητά του. Αν όμως εργαστούμε με συγκεκριμένα παραδείγματα, τα σύνολα γίνονται "μικρά" και πιο ... ανθρώπινα. Όποια παραδείγματα
συναρτήσεων δοκίμασα, από αυτές που συναντάμε καθημερινά, η τελική απάντηση έπεφτε μέσα στην εμβέλεια των μαθητών. Παραδείγματος χάριν
αν τα αρχικά πεδία ορισμού είναι διαστήματα ή ενώσεις διαστημάτων, και οι συναρτήσεις συνεχείς, τότε και τα σύνολα τιμών είναι παρόμοια, οπότε
η κατάσταση ...παλεύεται.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.


Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Κυρ Δεκ 05, 2010 9:01 am

Μιχάλη για να καταλάβω, λες κάτι διαφορετικό από το επισυναπτόμενο του Αντώνη (νιοστές ρίζες viewtopic.php?f=57&t=632);

Υπόψιν όποιος δεν έχει διαβάσει το παραπάνω εκπληκτικό άρθρο, νομίζω ότι χάνει, θα τολμήσω να πω ότι κάνει λάθος στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x)=x^x (όπως έκανα και εγώ πριν το δω).

Καλημέρα


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Στέλιος Μαρίνης
Δημοσιεύσεις: 528
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 16, 2009 9:45 pm
Τοποθεσία: Νέα Σμύρνη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Επί της ουσίας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Στέλιος Μαρίνης » Κυρ Δεκ 05, 2010 9:19 am

Δεδομένου ότι η ερώτηση αφορά το πώς διδάσκουμε μια τέτοια άσκηση στους μαθητές μας (αλλιώς ο περιορισμός σε διάστημα δεν έχει νόημα), νομίζω απλώς ότι σε μια τέτοια άσκηση οφείλουμε να δίνουμε Πεδίο Ορισμού μαζί με την εκφώνηση. Γενικότερα το Πεδίο Ορισμού είναι "συστατικό" της συνάρτησης. Καμιά συνάρτηση δεν είναι γνωστή αν δεν δοθεί το Πεδίο Ορισμού της. Η παράλειψή του, όταν δοθεί π.χ. απλώς ένας τύπος για τη συναρτηση, υπονοεί ότι μας ενδιαφέρει από τις άπειρες συναρτήσεις που έχουν τον ίδιο τύπο εκείνη που έχει Πεδίο Ορισμού το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο των πραγματικών αριθμών. Ανάλογα με το εκάστοτε ερώτημα αυτό το σύνολο είναι ή όχι απαράιτητο να βρεθεί! Αν π.χ. ζητάμε μελέτη μονοτονίας είναι ασφαλώς απαραίτητο το Π.Ο. Υπάρχουν όμως και περιπτώσεις που δεν είναι απαραίτητη η εύρεσή του, όπως όταν ζτάμε ένα όριό της, οπότε αρκεί να προσδιοριστεί ένα κατάλληλο υποσύνολο του Π.Ο. Επιμένω πάντως ότι ενσταλλάζουμε λαθεμένη αντίληψη για τις συναρτήσεις στους μαθητές όταν σχεδόν ποτέ δεν δίνουμε μια συνάρτηση δίνοντας και το Π.Ο. της που δεν είναι αναγκαίο να είναι το ευρύτερο κ.τ.λ. Πετάμε την πραγματική ζωή τελείως έξω από τα μαθηματικά, αφού, στη ζωή, τα Π.Ο των συναρτήσεων είναι κατά κανόνα σύνολα ή διαστήματα που δεν έχουν σημείο συσσώρευσης το άπειρο.


Κάποτε οι καμπύλες των γραφικών παραστάσεων ζωντανεύουν, είναι διαφορίσιμες γιατί είναι λείες κι όμορφες, έχουν ακρότατες τιμές γιατί αρνούνται τη μονοτονία, δεν έχουν όριο πραγματικό, αλλά μπορείς και τις φαντάζεσαι στο άπειρο και η ασύμπτωτη ευθεία είναι το καράβι που σε ταξιδεύει πλάι τους.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11547
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 05, 2010 1:47 pm

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Μιχάλη για να καταλάβω, λες κάτι διαφορετικό από το επισυναπτόμενο του Αντώνη (νιοστές ρίζες viewtopic.php?f=57&t=632);
Μάκη, το θέμα συζήτησης είναι αρκετά απλό ώστε να υπάρχουν αποκλίσεις στις δύο απαντήσεις.

Επειδή όμως ρωτάς, υπάρχουν τρία δευτερεύοντα σημεία που με έκαναν να νοιώσω την ανάγκη να απαντήσω κάπως λεπτομερέστερα στην ερώτηση που έθεσε το μέλος μας, παραπάνω.

1) Το άρθρο του Δασκάλου είναι διδακτικό και πιάνει το θέμα από την αρχή. Η δική μου απάντηση επικεντρώνεται μόνο στο θέμα της ερώτησης.

2) Κάνω μία νύξη ότι για περιττές ρίζες αρνητικού, η διεθνής βιβλιογραφία δεν είναι εναρμονισμένη. Άλλοι τις επιτρέπουν και άλλοι περιορίζουν την βάση να είναι θετική. Στο άρθρο του Δασκάλου υιοθετείται η πρακτική στην χώρα μας, και τα υπόλοιπα είναι συνεπή με αυτή την οπτική. Όμως η δική μου απάντηση (μαζί με την προτροπή προς τους μαθητές να μην διαβάσουν μία συγκεκριμένη παράγραφο και μπερδευτούν), επισημαίνει ότι η ίδια άσκηση σε άλλη χώρα μπορεί να είχε διαφορετική απάντηση! Παράδοξο αλλά αληθινό. Είναι κάτι ανάλογο με το αν ο 0 είναι ή δεν είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός. Στα μαθητικά μου χρόνια, δεν ήταν. Σήμερα επιλέξαμε να είναι. Άρα μια λύση σε ερώτημα παλιού βιβλίου, μπορεί να έχει διαφορετική απάντηση σήμερα από αυτήν που δίνει το λυσσάρι του παλιού βιβλίου. Ουδέν μεμπτόν, αρκεί να είμαστε συνεπείς με τον ορισμό που καταγράφουμε.

3) Η τελική απάντηση που δίνω αν και ίδια, φυσικά, με του Αντώνη, είναι "ως σύνολο" αντί "ως περιγραφή". Δηλαδή εκεί που Αντώνης γράφει κάτι της μορφής "άρα ο χ πρέπει να ικανοποιεί τουλάχιστον μία από τις παρακάτω ... " η δική μου απάντηση γράφει ακριβώς το ίδιο αλλά με σύμβολα (ενώσεις συνόλων και άλλες συντο-
μογραφίες (*) ). Η ουσία δεν αλλάζει. Οι απαντήσεις ταυτίζονται.

Φιλικά,

Μιχάλης.

(*) Π.χ. το σύνολο των x με f(x) = 0 γράφεται f^{-1}(\{0 \}), που καλό είναι να το γνωρίζουν οι μαθητές.


k-ser
Δημοσιεύσεις: 870
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 10:22 am
Τοποθεσία: Μουζάκι Καρδίτσας
Επικοινωνία:

Re: ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από k-ser » Δευ Δεκ 06, 2010 6:02 pm

Να κάνω δύο παρατηρήσεις για να μην μπερδέψουμε τους μαθητές της Γ΄ Λυκείου.

1.Στο βιβλίο τους αναφέρεται ότι, από τις συναρτήσεις, μελετούμε αυτές που έχουν πεδίο ορισμού διάστημα ή ένωση διαστημάτων. Έτσι, δεν μπορεί να τους δοθεί να μελετήσουν συνάρτηση όπως την f(x)=x^x. Πρέπει, δηλαδή, να τους δοθεί η συνάρτηση f(x)=x^x,\ \ x>0. Είναι ένα σημείο που πρέπει να προσέχουμε όταν δίνουμε ασκήσεις για λύση στους μαθητές μας: να δίνεται το πεδίο ορισμού συνάρτησης, όταν αυτό δεν είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων.

2. Ο πολύ χρήσιμος συμβολισμός \bf f^{-1} (A) που αναφέρει ο Μιχάλης, για την συντόμευση της γραφής του πεδίου ορισμού, δεν διδάσκεται στην Γ΄ Λυκείου. Tον συμβολισμό f^{-1} τον χρησιμοποιούμε για την αντίστροφη συνάρτηση της f. Αν, συνεπώς, τον χρησιμοποιήσουμε, θα πρέπει να το κάνουμε με την απαραίτητη διευκρίνηση της σημασίας του: το σύνολο των \bf x για τα οποία \bf f(x) \in A.


Κώστας Σερίφης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11547
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Δεκ 06, 2010 6:34 pm

k-ser έγραψε:
1.Στο βιβλίο τους αναφέρεται ότι, από τις συναρτήσεις, μελετούμε αυτές που έχουν πεδίο ορισμού διάστημα ή ένωση διαστημάτων.
Σπύρο, προσοχή: Άλλο μία συνάρτηση που δίνουμε εμείς (που πρέπει να έχει πεδίο ορισμού, όπως το θέτεις) και άλλο να ζητήσουμε βρουν το πεδίο ορισμού μιάς περίεργης συνάρτησης σε μια άσκηση.

Παραδείγματος χάριν δεν θα ήταν παράλογο να ζητήσουμε από τους μαθητές να βρουν το πεδίο ορισμού της

\sqrt {x-2} +\sqrt {3-x} + \sqrt {x^2-5x+6} . Δεν βγαίνει ένωση διαστημάτων αλλά το δισύνολο {2, 3}.


Φιλικά,

Μιχάλης

Υ.Γ. Προς αποφυγήν παρεξηγήσεων, ας διευκρινίσω ότι από το γεγονός ότι απάντησα στην ερώτηση "ποιο είναι το πεδίο ορισμού της f(x)^{g(x)}, δεν σημαίνει ότι υιοθετώ και την ανάγκη να θέσουμε το ερώτημα αυτό στον μέσο μαθητή.

Μην ξεχνάμε ότι η συγκεκριμένη ερώτηση είναι στον "Φάκελο του Καθηγητή", οπότε σε αυτούς απευθυνόμαστε.

Πάντως, αν κάποιος Καθηγητής ή Φροντιστής έχει ένα τόσο καλό Τμήμα και δώσει ως άσκηση συγκεκριμένες και απλές f, g και ζητήσει το πεδίο ορισμού της f(x)^{g(x)}, δεν θα τον "επέπληττα" (άλλωστε υπάρχουν παραδείγματα που μπορούν να τα λύσουν όλοι οι μαθητές, όπως εαν f(x)= e^x, g(x) = x^2). O Καθηγητής κουμαντάρει τους μαθητές του, αυτός ξέρει καλύτερα από όλους. Αν π.χ. ετοίμαζε μαθητές για Ολυμπιάδα seniors, μια άσκηση λίγο πιο δύσκολη από το παράδειγμα που μόλις έδωσα, θα ήταν μέσα στα θεμιτά όρια.

Άσκηση για τους δυνατούς μας μαθητές: Έστω f, g συναρτήσεις ορισμένες σε όλο το R που δίνονται από τους τύπους f(x) = x και g(x) = 2^x. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f(x)^{g(x)} και της g(x)^{f(x)}
Ομοίως αλλά για τις f(x) = x και g(x) = 2^{-x}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης