Σύστημα

Συντονιστής: emouroukos

Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5359
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Σύστημα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τετ Δεκ 22, 2010 10:37 pm

Άσκηση από πρόσφατο διαγωνισμό :

Να λυθεί το σύστημα :

\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{x + \sqrt[3]{x} + \sqrt[5]{x} + ... + \sqrt[{2011}]{x} = y}\\ 
{y + \sqrt[3]{y} + \sqrt[5]{y} + ... + \sqrt[{2011}]{y} = z}\\ 
{z + \sqrt[3]{z} + \sqrt[5]{z} + ... + \sqrt[{2011}]{z} = x} 
\end{array}} \right.}

Μπάμπης


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5358
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Σύστημα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Πέμ Δεκ 23, 2010 2:48 am

Μία σκέψη:
Αν θεωρήσουμε x \leqslant y \leqslant z\;\kappa \alpha \iota \;o\tau \iota \;\sqrt[n]{a} - \sqrt[n]{b} = \frac{{a - b}} 
{{\sqrt[n]{{a^{n - 1} }} + ... + \sqrt[n]{{b^{n - 1} }}}}, μπορούμε, τελικά, να έχουμε x=y=z…..

S.E.Louridas


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11566
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύστημα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 23, 2010 10:27 am

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Να λυθεί το σύστημα :

\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{x + \sqrt[3]{x} + \sqrt[5]{x} + ... + \sqrt[{2011}]{x} = y}\\ 
{y + \sqrt[3]{y} + \sqrt[5]{y} + ... + \sqrt[{2011}]{y} = z}\\ 
{z + \sqrt[3]{z} + \sqrt[5]{z} + ... + \sqrt[{2011}]{z} = x} 
\end{array}} \right.}


Λύση: x = y = z = 0

Από την πρώτη βλέπουμε ότι αν x\ge0 τότε και y\ge0, και κατόπιν όμοια z\ge0. Aν πάλι x\le0 τότε y, z \le0. Ας πάρουμε την πρώτη εκδοχή.

Προσθέτουμε τις εξισώσεις κατά μέλη. Τα x, y, z απλοποιούνται και μένει ένα μεγάλο άθροισμα με ριζικά (και μόνο θετικούς όρους) να ισούται με 0. Άρα όλοι οι όροι του είναι 0, από όπου (απλό) x = y = z = 0. Όμοια αν x, y, z αρνητικοί.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5358
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Σύστημα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Πέμ Δεκ 23, 2010 1:24 pm

Και επειδή πλέον ανοίχτηκε τό θέμα, απλά το αντιμετώπισα σε style μόνο σκέψης μήπως και μπούν και Μαθητές, συνεχίζοντας την διαπραγμάτευση μου, συμπληρώνω οτι αν αφαιρέσουμε από την 1η εξίσωση την 3η (αφού έχουμε πλέον άθροισμα κλασμάτων με ''εξαφανισμένες'' τις ρίζες στούς αριθμητές όπου πλέον έγιναν ίσοι και δεδομένης της ομοσημότητας τών x,y,z) εξίσωση παίρνουμε x=y οπότε πανεύκολα προκύπτει x=y=z=0.

S.E.Louridas


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5358
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Σύστημα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Πέμ Δεκ 23, 2010 4:21 pm

Επειδή, κατά την άποψη μου πρέπει να δούμε και την Μεθοδολογική Μαθηματική πλευρά:
♦ Πρέπει να επισημαίνουμε την τεράστια σημασία της ΑΝΤΙΣΥΜΜΕΤΡΙΚΗΣ ιδιότητας (να εξετάζουμε δηλαδή την εκδοχή της) κατά την εφαρμογή της στην ευρύτερη Διάταξη, αφού έχει μεγάλη σημασία, να γνωρίζουμε ότι πιθανόν μέσω αυτής να καταλήγουμε σε ισότητα σε περιπτώσεις όπως:
(x \leqslant a)\; \wedge \;\left( {x \geqslant a} \right) \Rightarrow x = a,
όπως είδαμε στην άσκηση που εισηγήθηκε ο Μπάμπης ή όπως έχουμε δει σε περιπτώσεις συναρτησιακών:
\left( {\exists x_0  \in \mathbb{R}} \right)\left[ {\left( {f\left( {x_0 } \right) \geqslant g\left( {x_0 } \right)} \right) \wedge \left( {f\left( {x_0 } \right) \leqslant g\left( {x_0 } \right)} \right)} \right] \Rightarrow f\left( {x_0 } \right) = g\left( {x_0 } \right)\;\kappa .\tau .\lambda .
♦ Η ομοσημότητα των x,y,z στην συγκεκριμένη άσκηση (παρεπιμπτόντως εδώ θεωρούμε ότι ρίζες περιττού δείκτη μπορούν να αναφέρονται και σε αρνητικούς) μας οδηγεί στο να εξετάσουμε επί της ουσίας, μόνο την περίπτωση όπου
0 \leqslant x \leqslant y \leqslant z,\;\alpha \varphi o\upsilon \;a \leqslant 0 \Leftrightarrow a =  - \left| a \right|.

S.E.Louridas


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης