Υπάρχει συνάρτηση;

#1

Για τούτο το πρόβλημα δεν έχω ολοκληρωμένη λύση. Κάτι ψάχνω ακόμα... Το μοιράζομαι μαζί σας.
Υπάρχει παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , ώστε
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty}(f \circ f^{\prime})(x)=-\infty$ και $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}(f \circ f^{\prime})(x)=+\infty$ ;

#2

Η $\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} x^2 & \alpha \nu \; x \geqslant 0 \\ -x^2 & \alpha \nu \; x < 0\end{cases}}$ δουλεύει.

Η συνάρτηση βγήκε τελικά αρκετά απλή. Η βασική ιδέα πίσω από την κατασκευή είναι η εξής:

(α) Βρίσκουμε παραγωγίσιμη συνάρτηση $f_1: [1,\infty) \to \mathbb{R}$ ώστε $\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty} (f_1 \circ f_1{'})(x) = +\infty}$ . (Ή αποδεικνύουμε πως δεν υπάρχει οπότε τελειώσαμε.)

(β) Βρίσκουμε παραγωγίσιμη συνάρτηση $f_2: (-\infty,-1] \to \mathbb{R}$ ώστε $\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} (f_2 \circ f_2{'})(x) = -\infty}$ . (Ή αποδεικνύουμε πως δεν υπάρχει οπότε τελειώσαμε.)

(γ) "Κολλάμε" τις f_1,f_2

στο διάστημα [-1,1]

. Αρκεί να βρούμε μια παραγωγίσιμη συνάρτηση $f_3:[-1,1] \to \mathbb{R}$ ώστε $f_3(1) = f_1(1),f_3(-1)=f_2(-1),f_3{'}(1) = f_1{'}(1)$ και $f_3{'}(-1) = f_2{'}(-1)$ . Αν πάρουμε f_3

πολυώνυμο τρίτου βαθμού, βλέπουμε ότι υπάρχει αρκετή ελευθερία για να επιτευχθεί αυτό. (Τέσσερις "ανεξάρτητες" εξισώσεις με τέσσερις αγνώστους.)

Εμένα μου βγήκε τελικά πιο εύκολα επειδή το κόλλημα των δυο συναρτήσεων ήταν άμεσο χωρίς να χρειαστεί να πάω μέσω του βήματος (γ).

hsiodos · #3

Δημήτρη νομίζω πως δεν δουλεύει το παράδειγμα.

Αν δεν κάνω λάθος είναι $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (f(f{'} (x)) = + \infty }$

Γιώργος

mtsarduckas · #4

Καλησπέρα στο

!Σωστό μου φαίνεται το παράδειγμα, αφού για

κοντά στο $- \infty$ έχουμε
f(f'(x))=-(-2x)^2=-4x^2

Μιχάλης

hsiodos · #5

Καλό απόγευμα

Δύο παρατηρήσεις για το ωραίο θέμα του Σπύρου(δεν έχω πλήρη λύση)

1. Στο παράδειγμα του Δημήτρη πιο πάνω είναι $\displaystyle{f(f{'} (x)) = 4x^2 \,\,,\,\,x \in R}$ οπότε $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (f(f{'} (x)) = + \infty }$

2. Αν τα όρια των $\displaystyle{f,f{'} }$ υπάρχουν(πεπερασμένα ή άπειρα) στο $\displaystyle{ + \infty , - \infty }$ τότε -και αν δεν έχω κάνει λάθος - δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση f .

Το θέμα είναι τι γίνεται αν κάποιο από τα προηγούμενα όρια δεν υπάρχει.

Γιώργος

#6

Γιώργο, έχεις δίκιο. Το παράδειγμα είναι λανθασμένο. Θα πρέπει να το ξαναδώ.

#7

Τελικά μάλλον η απάντηση είναι όχι. Κάνω μια απόπειρα απόδειξης.

Έστω $a = \liminf_{x \to +\infty}f{'}(x)$ και $b = \limsup_{x \to +\infty}f{'}(x)$ . Αν $a \in \mathbb{R}$ , τότε από την συνέχεια της

, αν το όριο $\lim_{x \to \infty} f(f{'}(x))$ υπάρχει, θα πρέπει να ισούται με f(a)

, άτοπο. Ομοίως αν $b \in \mathbb{R}$ . Επίσης αν $a = -\infty$ και $b = \infty$ τότε υπάρχει ακολουθία (x_n)

με $x_n \to \infty$ και $f{'}(x_n) = 0$ (από ιδιότητα Darboux) και άρα $f(f{'}(x_n)) = f(0)$ , άτοπο.

Άρα είτε $\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty} f{'}(x) = +\infty}$ , είτε $\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty} f{'}(x) = -\infty}$ . Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύουμε πως είτε $\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} f{'}(x) = +\infty}$ , είτε $\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} f{'}(x) = -\infty}$ .

Ας υποθέσουμε ότι $\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty}f{'}(x) = -\infty}$ . Τότε η

είναι φθίνουσα σε ένα διάστημα της μορφής $(-\infty,c)$ και άρα το όριο $\lim_{x\to -\infty}f(x)$ υπάρχει και δεν ισούται με $-\infty$ . (Πιθανώς να ισούται με $+\infty$ .) Αλλά τότε $\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty}f(f{'}(x)) = \lim_{x\to -\infty}f(x) \neq -\infty}$ , άτοπο.

Άρα $\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty}f{'}(x) = +\infty}$ .

Αν τώρα $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}f{'}(x) = +\infty }$ , τότε με παρόμοιο τρόπο δείχνουμε ότι το όριο $\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty}f(x)}$ υπάρχει και δεν ισούται με $-\infty$ και άρα $\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty}f(f{'}(x)) = \lim_{x\to -\infty}f(x) \neq -\infty}$ , άτοπο.

Αν $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}f{'}(x) = -\infty }$ , τότε με παρόμοιο τρόπο δείχνουμε ότι το όριο $\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty}f(x)}$ υπάρχει και δεν ισούται με $+\infty$ . Επίσης, αφού $\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty}f{'}(x) = +\infty}$ , το όριο $\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty}f(x)}$ υπάρχει και δεν ισούται με $-\infty$ . Άρα $\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty}f(f{'}(x)) \neq +\infty}$ , άτοπο.

#8

Η δική μου προσέγγιση:

Η απάντηση είναι όχι, γιατί:

Η συνάρτηση $g=f \circ f^{\prime}$ έχει τη ιδιότητα Darboux, ως σύνθεση δύο συναρτήσεων με την ιδιότητα Darboux και

επειδή $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}g(x)=+\infty \wedge \displaystyle\lim_{x \to -\infty}g(x)=-\infty$

θα έχουμε $g(\mathbb{R}=\mathbb{R}$

Επειδή $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}g(x)=+\infty$ υπάρχει a>0

ώστε $g(x)>f(0), \forall x \ge a$ .

H

είναι 1-1 στο διάστημα $[a,+\infty)$ , γιατί σε αντίθετη περίπτωση θα υπάρχουν $x_1,x_2 \in [a,+\infty), x_1<x_2$ ώστε

f(x_1)=f(x_2)

και από το θεώρημα Rolle, υπάρχει $c \in [a,+\infty)$ ώστε $f^{\prime}(c)=0 \Rightarrow f(f^{\prime}(c))=f(0) \Rightarrow g(c)=f(0)$ , άτοπο.

Συνεπώς η

είναι γνησίως μονότονη στο $[a,+\infty)$ και επειδή $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(f^{\prime}((x))=+\infty$

η

θα είναι γνησίως αύξουσα στο $[a, +\infty)$

Επίσης:

Επειδή $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}g(x)=-\infty$ υπάρχει b<0

ώστε $g(x)<f(0), \forall x \le b$ .

H

είναι 1-1 στο διάστημα $(-\infty,b]$ , γιατί σε αντίθετη περίπτωση θα υπάρχουν $x_1,x_2 \in (-\infty,b], x_1<x_2$ ώστε

f(x_1)=f(x_2)

και από το θεώρημα Rolle, υπάρχει $c \in (-\infty,b]$ ώστε $f^{\prime}(c)=0 \Rightarrow f(f^{\prime}(c))=f(0) \Rightarrow g(c)=f(0)$ , άτοπο.

Συνεπώς η

είναι γνησίως μονότονη στο $(-\infty,b]$ και επειδή $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}f(f^{\prime}((x))=-\infty$

η

θα είναι γνησίως αύξουσα στο $(-\infty,b]$

Συνεπώς $f^{\prime}(x) \ge 0, \forall x \in (-\infty,b] \cup [a,+\infty)$

Άρα $g((-\infty,b])=f(f^{\prime}(-\infty,b])) \subset f([0,+\infty))=f([0,a]) \cup f([a,+\infty)=[k,+\infty)$ , άτοπο, γιατί

$\displaystyle\lim_{x \to -\infty}g(x)=-\infty$ .

Φιλικά

Υπάρχει συνάρτηση;

Υπάρχει συνάρτηση;

Re: Υπάρχει συνάρτηση;

Re: Υπάρχει συνάρτηση;

Re: Υπάρχει συνάρτηση;

Re: Υπάρχει συνάρτηση;

Re: Υπάρχει συνάρτηση;

Re: Υπάρχει συνάρτηση;

Re: Υπάρχει συνάρτηση;

Μέλη σε σύνδεση