Σελίδα 1 από 1

Συνεχής συνάρτηση

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 24, 2011 12:41 pm
από s.kap
Αν για μία συνάρτηση f ισχύει cos(f(x)-f(y)) \ge cox(x-y), \forall x,y \in \mathbb{R}, να αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο \mathbb{R}

Re: Συνεχής συνάρτηση

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 24, 2011 2:17 pm
από R BORIS
έστω \displaystyle{x\ge y} με \displaystyle{x-y=B} και \displaystyle{f(x)-f(y)=A}
Αφού \displaystyle{cosA\ge cosB , B|\ge 0} είναι \displaystyle{|A+2k\pi| \le B}
Aς υποθέσουμε ότ \displaystyle{B\to 0}
τότε για \displaystyle{x=y \Rightarrow  A=0 } οπότε θα έπρεπε \displaystyle{k=0}
Συνεπώς \displaystyle{|A|\le B} που είναι η συνθήκη Lipsitz και εξασφαλίζει την συνέχεια της f

Re: Συνεχής συνάρτηση

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 24, 2011 7:48 pm
από s.kap
Η δική μου λύση:

cos(f(x)-f(y)) \ge cos(x-y) \Rightarrow 1-2sin^2(\frac {f(x)-f(y)}{2}) \ge 1-2sin^2(\frac {x-y}{2})

\Rightarrow |sin (\frac {f(x)-f(y)}{2})| \le |sin(\frac {x-y}{2})|\Rightarrow \displaystyle\lim_{x \to y}sin(\frac {f(x)-f(y)}{2})=0

\Rightarrow \displaystyle\lim_{x \to y}tan^2(\frac {f(x)-f(y)}{2})=\displaystyle\lim_{x \to y}\frac {sin^2(f(x)-f(y))}{1-sin^2(f(x)-f(y))}=0

\Rightarrow \displaystyle\lim_{x \to y}tan(\frac {f(x)-f(y)}{2})=0

Αλλά |\frac {f(x)-f(y)}{2}| \le |tan\frac {f(x)-f(y)}{2}|, συνεπώς

\displaystyle\lim_{x \to y}\frac {f(x)-f(y)}{2}=0 \Rightarrow \displaystyle\lim_{x \to y}(f(x)-f(y))=0

\Rightarrow \displaystyle\lim_{x \to y}f(x)=f(y), το ζητούμενο.

Φιλικά