Ενδιαφέρουσα στη συνέχεια

Συντονιστής: emouroukos

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Ενδιαφέρουσα στη συνέχεια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Κυρ Μαρ 20, 2011 6:45 am

Έστω a \in \mathbb{R} σταθερό. Υπάρχει συνεχής συνάρτηση f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} με

f(a)=a+1 και f(f(x))=(x-a)^2+a, \forall x \in \mathbb{R};
Προτείνεται από τον Firin Rotaru για λύση στο Gazeta Matematica για την προτελευταία τάξη του Λυκείου (άσκηση 26251)


Σπύρος Καπελλίδης
GMANS
Δημοσιεύσεις: 502
Εγγραφή: Τετ Απρ 07, 2010 6:03 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Ενδιαφέρουσα στη συνέχεια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από GMANS » Κυρ Μαρ 20, 2011 11:00 am

Έστω ότι υπάρχει η ζητούμενη f

f(a)=a+1

και f(f(a))=a οπότε f(α+1)=a

αν g(x)=f(x)-x

τότε με θεώρημα Bolzano για την g στο [α,α+1] αποδεικνύουμε ότι υπάρχει
x_0 στο (α,α+1) ώστε
g(x_0)=0 \Leftrightarrow f(x_0)=x_0
τότε

f(f(x_0)=f(x_0)\Leftrightarrow (x_0-a)^2+a=x_0\Leftrightarrow x_0=a      \eta      x_0=a+1 άτοπο άρα δεν υπάρχει η f


Γ. Μανεάδης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης