Συναρτησιακή με δυσκολίες

Συντονιστής: emouroukos

Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5356
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Συναρτησιακή με δυσκολίες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τρί Μάιος 24, 2011 2:10 pm

Έχω βρει ένα θέμα διαγωνισμού , στο οποίο δίνεται συνάρτηση με την ιδιότητα

f(x^2+y^2)=xf(x)+yf(y), \forall x,y \in \mathbb R.

H συνάρτηση αυτή δίνεται ότι έχει αρχική και προσπαθώ να βρω τον τύπο της, δηλαδή τη μορφή της.
Θα μου είναι όλα εύκολα , αν αποδείξω ότι είναι προσθετική , δηλαδή :

f(x+y)=f(x)+f(y), \forall x,y \in \mathbb R.

Τη σχέση αυτή την έχω αποδείξει για ομόσημα x,y , αλλά για ετερόσημα κάπου έχω κολήσει.
Είναι άραγε δυνατόν να ξεπεραστεί αυτή η δυσκολία ;

Μπάμπης


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή με δυσκολίες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Μάιος 24, 2011 2:23 pm

Είναι περιττή οπότε θα είναι Cauchy για κάθε x,y.

Δείτε π.χ εδώ


Θανάσης Κοντογεώργης
komi
Δημοσιεύσεις: 84
Εγγραφή: Τετ Μαρ 09, 2011 5:40 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Συναρτησιακή με δυσκολίες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από komi » Τρί Μάιος 24, 2011 2:38 pm

Μοιάζει με USAMO 2002 , 4 :

εδώ


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5356
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Συναρτησιακή με δυσκολίες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τρί Μάιος 24, 2011 6:24 pm

socrates έγραψε:Είναι περιττή οπότε θα είναι Cauchy για κάθε x,y.

Δείτε π.χ εδώ
Να πάρω επομένως x>0,y<0 με πχ x+y >0,οπότε σύμφωνα με το τέχνασμα που έχεις κάνει και παραπάνω στο link είναι :

f(x)=f((x+y)+(-y)) = f(x+y)+f(-y)=f(x+y)-f(y) ,οπότε f(x)+f(y)=f(x+y).

Βέβαια, είχα αποδείξει ότι f(x-y)=f(x)-f(y) για ετερόσημα x,y και έκανα τη δουλειά μου ως την παραγωγισιμότητα της f, αλλά ήθελα την πλήρη προσθετική σχέση για να συντομέψω τη λύση.

Ευχαριστώ πολύ !

Μπάμπης


komi
Δημοσιεύσεις: 84
Εγγραφή: Τετ Μαρ 09, 2011 5:40 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Συναρτησιακή με δυσκολίες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από komi » Τρί Μάιος 24, 2011 6:58 pm

socrates έγραψε:Είναι περιττή οπότε θα είναι Cauchy για κάθε x,y.

Δείτε π.χ εδώ
Δεν πρέπει να δίνεται ότι η f είναι συνεχής?


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή με δυσκολίες

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Μάιος 24, 2011 7:12 pm

komi έγραψε:
socrates έγραψε:Είναι περιττή οπότε θα είναι Cauchy για κάθε x,y.

Δείτε π.χ εδώ
Δεν πρέπει να δίνεται ότι η f είναι συνεχής?
Όχι. Η f είναι προσθετική για ομόσημα x,y και περιττή \Longrightarrow Cauchy(προσθετική) \forall x,y.
τελευταία επεξεργασία από socrates σε Τρί Μάιος 24, 2011 7:39 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Θανάσης Κοντογεώργης
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5356
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Συναρτησιακή με δυσκολίες

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τρί Μάιος 24, 2011 7:20 pm

Είχα μείνει από παλιά με την εντύπωση ότι μόνο με την προσθετικότητα δεν προκύπτει η γραμμικότητα, δηλαδή ότι είναι της μορφής f(x)=kx.Ήξερα ότι με τη μονοτονία ή τη συνέχεια κλπ, παίρνουμε το γνωστό τύπο, αλλά δεν έτυχε μόνο με τη προσθετικότητα να δω αυτό το αποτέλεσμα .Ενδιαφέρον. Θα το ξαναδώ όμως !

Μπάμπης


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2179
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή με δυσκολίες

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Πέμ Μάιος 26, 2011 6:16 am

\displaystyle{ f(x) + f(x - 1)= f(2x - 1) = f( x^2 - (x - 1)^2) = x f(x) - (x - 1) f(x - 1)}
\displaystyle{=x f(x - 1) + x f(1) - (x - 1) f(x - 1) = x f(x - 1) + x f(1)- x f(x -1)+f(x-1)}}
οπότε θα έχω \displaystyle{{f(x) = x f(1).=Ax}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης