Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;
Συντονιστής: emouroukos
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;
Ύπάρχει παραγωγίσιμη συνάρτηση με που να ικανοποιεί τη σχέση: ;;
Χρήστος Κυριαζής
Re: Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;
Χρήστο, έχεις δίκιο να μη το καταλαβαίνεις, γιατί έκανα λάθος στις πράξεις. Σε ευχαριστώ που έγινες αιτία να το ξανακοιτάξω Πρός το παρόν το αποσύρω.
τελευταία επεξεργασία από s.kap σε Δευ Μάιος 30, 2011 8:10 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Σπύρος Καπελλίδης
Re: Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;
Θεωρούμε τη συνάρτησηchris_gatos έγραψε:Ύπάρχει παραγωγίσιμη συνάρτηση με που να ικανοποιεί τη σχέση: ;;
Αυτή είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο θετική, επομένως έχει αντίστροφη. Στο [0, 2] έχουμε:
Η συνθήκη f(0)=0 δίνει c=0, άρα
Στη συνέχεια, επειδή , απομένει να δείξουμε ότι η συνάρτηση αυτή επαληθεύει στο [0, 2] τη συνθήκη , δηλαδή ότι
Είναι
Ώστε υπάρχει η f και μάλιστα
Re: Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;
....ευκολα μπορουμε ν.δ.ο.το συνολο τιμων της G(x) ειναι ανω φραγμενο απο το
1+π/4<2.Επομενως η αντιστροφη της G(x) δεν μπορει να εχει π.ο.το [0,2] οπως θα ωφειλε.Τελικα δεν υπαρχει τετοια συναρτηση(μια αποδειξη εκανε προηγουμενως ο
Σπυρος)
Φιλικα Ν.Ζ.
1+π/4<2.Επομενως η αντιστροφη της G(x) δεν μπορει να εχει π.ο.το [0,2] οπως θα ωφειλε.Τελικα δεν υπαρχει τετοια συναρτηση(μια αποδειξη εκανε προηγουμενως ο
Σπυρος)
Φιλικα Ν.Ζ.
Re: Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;
Ανασκευάζοντας, λοιπόν, Θεωρούμε την συνάρτησηnikoszan έγραψε:....ευκολα μπορουμε ν.δ.ο.το συνολο τιμων της G(x) ειναι ανω φραγμενο απο το
1+π/4<2.Επομενως η αντιστροφη της G(x) δεν μπορει να εχει π.ο.το [0,2] οπως θα ωφειλε.Τελικα δεν υπαρχει τετοια συναρτηση(μια αποδειξη εκανε προηγουμενως ο
Σπυρος)
Φιλικα Ν.Ζ.
Για θετικά x είναι:
Στο [0, 2] έχουμε:
Η συνθήκη f(0)=0 δίνει c=0, άρα
Άτοπο κ.λπ., επομένως δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.
τελευταία επεξεργασία από rek2 σε Δευ Μάιος 30, 2011 11:57 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;
Ολόκληρο το απόγευμα ασχολούμαι, μαζί με τον Σεραφείμ, να βρούμε μία λύση χωρίς αποτέλεσμα. Και ενώ συνέχιζα το ψάξιμο,
ο Νίκος Ζανταρίδης (εξαιρετικός γνώστης της τέχνης μας) μου τηλεφώνησε και μου έδωσε τα φώτα του:
Έχουμε
Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο [0,2], άρα
Συνεπώς . Εξ΄άλλου, επειδή και η είναι γνησίως αύξουσα, έχουμε (1)
Από τη δοθείσα έχουμε
(2)
Από την (2) συμπεραίνουμε ότι (3)
Από την (1) βρίσκουμε ότι (4)
Άρα (1) και (4) δίνει
, άτοπο.
ο Νίκος Ζανταρίδης (εξαιρετικός γνώστης της τέχνης μας) μου τηλεφώνησε και μου έδωσε τα φώτα του:
Έχουμε
Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο [0,2], άρα
Συνεπώς . Εξ΄άλλου, επειδή και η είναι γνησίως αύξουσα, έχουμε (1)
Από τη δοθείσα έχουμε
(2)
Από την (2) συμπεραίνουμε ότι (3)
Από την (1) βρίσκουμε ότι (4)
Άρα (1) και (4) δίνει
, άτοπο.
Σπύρος Καπελλίδης
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;
Εγώ να πω πως πραγματικά χαίρομαι που μία άσκηση έγινε πεδίο γόνιμης παράθεσης ιδεών και έτσι γίναμε
όλοι πλουσιότεροι.
Η άσκηση ομολογουμένως με παίδεψε, χωρίς να ξοδέψω λόγω φόρτου εργασίας τον απαιτούμενο χρόνο.
Κύριοι σας ευχαριστώ όλους για την προσφορά ιδεών.
Είναι μία άσκηση(άλυτη) από το ''Problems in real analysis'' των Radulescu-Rdulescu-Andreescu.
Να'στε καλά!
Y.Γ:Έντάξει,άλλαξα λίγο την εκφώνηση για να δώσω...σασπένς.Η αρχική έλεγε ''Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση...''
όλοι πλουσιότεροι.
Η άσκηση ομολογουμένως με παίδεψε, χωρίς να ξοδέψω λόγω φόρτου εργασίας τον απαιτούμενο χρόνο.
Κύριοι σας ευχαριστώ όλους για την προσφορά ιδεών.
Είναι μία άσκηση(άλυτη) από το ''Problems in real analysis'' των Radulescu-Rdulescu-Andreescu.
Να'στε καλά!
Y.Γ:Έντάξει,άλλαξα λίγο την εκφώνηση για να δώσω...σασπένς.Η αρχική έλεγε ''Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση...''
Χρήστος Κυριαζής
Re: Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;
Και μία γενίκευση από τον Νίκο Ζανταρίδη:
Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει παραγωγίσιμη συνάρτηση με ,
και
, όπου άρτιος θετικός ακέραιος.
Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει παραγωγίσιμη συνάρτηση με ,
και
, όπου άρτιος θετικός ακέραιος.
Σπύρος Καπελλίδης
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;
ΛΥΣΗ ΑΠΟ Νίκο Ζανταρίδη(nikoszan)
Έστω πως υπάρχει τέτοια συνάρτηση τότε για κάθε ισχύει .
Έτσι για κάθε ισχύει
Για κάθε είναι
Λόγω της (1) ισχύουν:
(αφού )
και
Έχουμε:
κι επειδή για κάθε είναι ισχύει
Έτσι έχουμε:
Δηλαδή:
δηλαδή
ΑΤΟΠΟ αφού και
Άρα δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση
Έστω πως υπάρχει τέτοια συνάρτηση τότε για κάθε ισχύει .
Έτσι για κάθε ισχύει
Για κάθε είναι
Λόγω της (1) ισχύουν:
(αφού )
και
Έχουμε:
κι επειδή για κάθε είναι ισχύει
Έτσι έχουμε:
Δηλαδή:
δηλαδή
ΑΤΟΠΟ αφού και
Άρα δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση
Χρήστος Κυριαζής
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;
To ελάχιστο μήκος διαστήματος βελτιώνεται. Μπορεί να πέσει στο Ενδέχεται και παρακάτω.
Καταρχάς εύκολα βλέπουμε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο
Από ΘΜΤ στο παίρνουμε και επειδή η είναι
γνησίως αύξουσα, για κάθε θα ισχύει .
Από ΘΜΤ στην στο παίρνουμε
Αφού αναγκαστικά .
Για ευκολία γράφουμε Από την τελευταία παίρνουμε
Για είναι αφού .
Για είναι .
Άρα αν καταλήγουμε στο ότι δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.
Επομένως μπορούμε να θεωρήσουμε στην εκφώνηση
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;
Θα βελτιώσω τα φράγματα που έγραψε ο Λάμπρος.
Πριν από αυτό θα διατυπώσω το πρόβλημα όπως διατυπώνεται στην θεωρία των Διαφορικών εξισώσεων.
(καποιοι προκειμένου να είναι συμβατοί με τα σχολικά μαθηματικά παραποιούν τα μαθηματικά)
Το πρόβλημα λοιπόν είναι
εστω παραγωγίσιμη συνάρτηση με ,
για την οποία ισχύει ,
οπου
Να βρεθεί ένα ανω φράγμα για το
Για γράφοντας
και ολοκληρώνοντας παίρνουμε
αρα
προκύπτει ότι
για κάνουμε τα εξής.
Οπως έδειξε και ο Λαμπρος παραπάνω είναι
εχουμε ότι
(είναι προφανές ότι )
Αρα
ολοκληρονοντας από εως παίρνουμε ότι
λόγω των προηγούμενων γίνεται .
αν λοιπόν το αρτιος φυσικός τότε
Re: Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;
συγνωμη λαθος
Μια αλλη ιδεα ελπιζω σωστή
Eστω τ'οτε υπάρχει
θέτω
Aπο την δ.ε είναι αρα ή
ή
ATOΠΟ αφου και
ομοια και το αλλο οριο
αρα δεν υπαρχει τετοια f με
Μια αλλη ιδεα ελπιζω σωστή
Eστω τ'οτε υπάρχει
θέτω
Aπο την δ.ε είναι αρα ή
ή
ATOΠΟ αφου και
ομοια και το αλλο οριο
αρα δεν υπαρχει τετοια f με
τελευταία επεξεργασία από R BORIS σε Κυρ Απρ 21, 2019 9:27 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Υπάρχει τέτοια συνάρτηση;
s.kap έγραψε: ↑Δευ Μάιος 30, 2011 11:54 pmΟλόκληρο το απόγευμα ασχολούμαι, μαζί με τον Σεραφείμ, να βρούμε μία λύση χωρίς αποτέλεσμα. Και ενώ συνέχιζα το ψάξιμο,
ο Νίκος Ζανταρίδης (εξαιρετικός γνώστης της τέχνης μας) μου τηλεφώνησε και μου έδωσε τα φώτα του:
Έχουμε
Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο [0,2], άρα
Συνεπώς . Εξ΄άλλου, επειδή και η είναι γνησίως αύξουσα, έχουμε (1)
Από τη δοθείσα έχουμε
(2)
Από την (2) συμπεραίνουμε ότι (3)
Από την (1) βρίσκουμε ότι (4)
Άρα (1) και (4) δίνει
, άτοπο.
Υπάρχουν ορισμένα τυπογραφικά στη παραπάνω λύση και τη καθιστούν δυσανάγνωστη. Κατά τα άλλα πολύ όμορφη λύση.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες