Είναι ενελικτική!

Συντονιστής: emouroukos

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Είναι ενελικτική!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Αύγ 04, 2011 7:54 pm

Θεωρούμε συνεχή και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f:(0,+\infty) \to (0,+\infty), τέτοια ώστε
f(x+y)+f(f(x)+f(y)) = f(f(x+f(y))+f(y+f(x))) , για κάθε x,y\in (0,+\infty).

Να δείξετε ότι f(f(x))=x .


Θανάσης Κοντογεώργης
s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Είναι ενελικτική!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Κυρ Αύγ 21, 2011 5:06 pm

socrates έγραψε:Θεωρούμε συνεχή και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f:(0,+\infty) \to (0,+\infty), τέτοια ώστε
f(x+y)+f(f(x)+f(y)) = f(f(x+f(y))+f(y+f(x))) , (1) για κάθε x,y\in (0,+\infty).

Να δείξετε ότι f(f(x))=x .
Θέτουμε στην (1) όπου y το x και βρίσκουμε

f(2x)+f(2f(x))=f\left(2f(x+f(x)\right), \forall x \in (0,+\infty) (2)

Θέτουμε στην (2) όπου x το f(x) και έχουμε

f\left(2f(x)\right)+f\left(2f(f(x))\right)=f\left(2f(f(x)+f(f(x))\right), \forall x \in (0,+\infty) (3)

(3) μείον (2) κατά μέλη και έχουμε

f\left(2f(f(x))\right)-f(2x)=f\left(2f(f(x)+f(f(x))\right)-f\left(2f(x+f(x)\right), \forall x \in (0,+\infty) (4)

Αν υποθέσουμε ότι για κάποιο x \in (0,+\infty) έχουμε f(f(x))>x, τότε η (4) δίνει

f\left(2f(f(x)+f(f(x))\right)<f\left(2f(x+f(x)\right) \Rightarrow 2f(f(x)+f(f(x))>2f(x+f(x)

\Rightarrow f(f(x)+f(f(x)))>f(x+f(x)) \Rightarrow f(x)+f(f(x))<x+f(x)

\Rightarrow f(f(x))<x, αντίφαση.

Ομοίως καταλήγουμε σε αντίφαση αν υποθέσουμε ότι για κάποιο x \in (0,+\infty) έχουμε f(f(x))<x

Συνεπώς f(f(x))=x, \forall x \in (0,+\infty)

Θα μπορούσαμε αντί (0,+\infty) να είχαμε \mathbb{R}

Επίσης δεν βλέπω να μου χρειάστηκε η συνέχεια της συνάρτησης


Σπύρος Καπελλίδης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης