Συναρτησιακή εξίσωση

Συντονιστής: emouroukos

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Συναρτησιακή εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Πέμ Σεπ 29, 2011 12:54 pm

Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f:[0,1] \to [0,1] με την ιδιότητα

f(x)+f(y)=f(f(x)+y), \forall x,y \in [0,1] \wedge f(x)+y \in [0,1]


Σπύρος Καπελλίδης
GMANS
Δημοσιεύσεις: 502
Εγγραφή: Τετ Απρ 07, 2010 6:03 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από GMANS » Πέμ Σεπ 29, 2011 5:18 pm

Έχει δίκιο ο Θάνος (τον οποίο και ευχαριστώ)και αποσύρω την λύση μου
τελευταία επεξεργασία από GMANS σε Πέμ Σεπ 29, 2011 9:14 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Γ. Μανεάδης
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6174
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Πέμ Σεπ 29, 2011 9:05 pm

GMANS έγραψε:Για κάθε x,y \epsilon R είναι
0\leq f(x)+y\leq 1
για y=1 γίνεται

-1\leq f(x)\leq 0 για κάθε x \epsilon R(1)


Και 0\leq f(x)\leq 1 για κάθε x \epsilon R  (2)

Από (1),(2) προκύπτειf (x)=0 για κάθε x \epsilon R
που είναι συνεχής και ικανοποιεί την δοσμένη
Γιώργο, νομίζω ότι ο Σπύρος εννοεί κάτι άλλο. Δε μας λέει ότι ισχύει \displaystyle{f(x)+y\in [0,1],} για όλα τα \displaystyle{x,y \in [0,1]}, αλλά ότι η συναρτησιακή εξίσωση ικανοποιείται για κάθε \displaystyle{x,y\in [0,1]}, τα οποία είναι τέτοια, ώστε να ισχύει \displaystyle{f(x)+y\in [0,1].}
Ως εκ τούτου, η παραπάνω αντιμετώπιση, δεν είναι σωστή.


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6174
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Πέμ Σεπ 29, 2011 9:48 pm

Νομίζω ότι έχω μία απάντηση.

Καταρχάς, είναι φανερό, ότι η μόνη σταθερή συνάρτηση στο \displaystyle{[0,1]}, η οποία ικανοποιεί το ζητούμενο, είναι η μηδενική.
Αναζητούμε άλλες.

Είναι απλή εφαρμογή του θεωρήματος Bolzano, ότι η \displaystyle{f} έχει τουλάχιστον ένα σταθερό σημείο \displaystyle{x_0\in [0,1].}

Θέτουμε στη συναρτησιακή \displaystyle{x\to x_0, y\to 0} (αυτό προφανώς επιτρέπεται), οπότε προκύπτει

\displaystyle{f(x_0)+f(0)=f\Big(f(x_0)\Big)}, οπότε είναι \displaystyle{f(0)=0.}

Τώρα, θέτουμε \displaystyle{y\to 0} και έχουμε \displaystyle{f(x)=f(f(x))} για κάθε \displaystyle{x\in [0,1].}
.....

Η αρχική μου απόπειρα ήταν εσφαλμένη, όπως μου υπέδειξε ο Θανάσης (socrates). Αφήνω τα παραπάνω, μήπως και βοηθήσουν.


Μάγκος Θάνος
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Σεπ 30, 2011 12:34 am

Έστω \Delta=f([0,1])=[a,b].

Είναι f(f(x))=f(x)+f(0) οπότε f(x)=x+f(0), για κάθε x \in \Delta.

Για x:=b έχουμε f(b)=b+f(0)\leq b, δηλαδή f(0)=0 και a=0.

Για x=b, \ y:=1-f(b) είναι f(1-b)=f(1)-b\geq 0 οπότε b\leq f(1)\geqb, δηλαδή f(1)=b και f(1-b)=0.

Αν 1-b\leq b τότε 1-b \in \Delta οπότε 0=f(1-b)=1-b \implies b=1 και τελικά f(x)=x στο [0,1].

Αν 1-b> b τότε f(2b)=f(b+b)=f(b+f(b))=f(b)+f(f(b))=2b\leq b οπότε b=0 και f\equiv 0.


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης