Συναρτησιακή με συνεχή συνάρτηση

Συντονιστής: emouroukos

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Συναρτησιακή με συνεχή συνάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τρί Οκτ 25, 2011 9:54 pm

Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f: \mathbb{R} \to (0,+\infty) για τις οποίες f(ax+x)=f(ax)a^x,\ \forall x \in \mathbb{R},

όπου a σταθερός αριθμός >1


Σπύρος Καπελλίδης
Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1464
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Συναρτησιακή με συνεχή συνάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Τρί Οκτ 25, 2011 11:10 pm

Διαιρώντας κατά μέλη με a^{(a+1)x} παίρνουμε \forall x\in\mathbb{R}

\displaystyle{\frac{f((a+1)x)}{a^{(a+1)x}}}=\frac{f(ax)}{a^{ax}}

Θέτουμε \displaystyle{g(x)=\frac{f(x)}{a^x}}.

Τότε g((a+1)x)=g(ax) οπότε και \displaystyle{g(x)=g(\frac{a}{a+1}x)} \forall x\in\mathbb{R}.

Εφαρμόζουμε το παραπάνω n φορές και προκύπτει \displaystyle{g((x)=g\left( \left( \frac{a}{a+1}\right)^nx\right)} \forall n\in\mathbb{N}.

Λόγω συνέχειας όταν το n τείνει στο άπειρο προκύπτει ότι g(x)=g(0) \forall x\in\mathbb{R}.

Άρα η g είναι σταθερή οπότε f(x)=ca^x.

Όλες αυτές για c>0 επαληθεύουν την αρχική.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης