Διπλή ύπαρξη

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2180
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Διπλή ύπαρξη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Κυρ Νοέμ 27, 2011 7:48 am

αν \displaystyle{f:R\to R} και ισχύει \displaystyle{f(2^x-3x)=2^{f(x)}-3f(x),\forall x\in R} να δείξετε ότι:
1. Υπάρχει \displaystyle{\xi \in R : f(f(\xi))=\xi}
2. Αν επιπλέον \displaystyle{f} συνεχής στο \displaystyle{R} , υπάρχει \displaystyle{x_0\in R : f(x_0)=x_0}


s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Διπλή ύπαρξη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Κυρ Νοέμ 27, 2011 9:35 am

R BORIS έγραψε:αν \displaystyle{f:R\to R} και ισχύει \displaystyle{f(2^x-3x)=2^{f(x)}-3f(x),\forall x\in R} να δείξετε ότι:
1. Υπάρχει \displaystyle{\xi \in R : f(f(\xi))=\xi}
2. Αν επιπλέον \displaystyle{f} συνεχής στο \displaystyle{R} , υπάρχει \displaystyle{x_0\in R : f(x_0)=x_0}
Ροδόλφε καλημέρα

Όσον αφορά το πρώτο ερώτημα κάτι παρόμοιο, νομίζω πως έχει συζητηθεί εδώ viewtopic.php?f=111&t=12981

Για το δεύτερο: με απαγωγή σε άτοπο

Άρα η συνεχής συνάρτηση g(x)=f(x)-x, x \in \mathbb{R} δεν μηδενίζεται, συνεπώς διατηρεί το πρόσημό της.

Αν g(x)>0,\ \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow f(x)>x,\ \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow f(f(x))>f(x)>x,\ \forall x \in \mathbb{R}, άτοπο.

Αν g(x)<0,\ \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow f(x)<x,\ \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow f(f(x))<f(x)<x,\ \forall x \in \mathbb{R}, άτοπο.


Σπύρος Καπελλίδης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες