Συνεχής συνάρτηση

Συντονιστής: emouroukos

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Συνεχής συνάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Παρ Δεκ 30, 2011 10:04 pm

Έστω συνάρτηση f;(0,+\infty) \to (0,+\infty) ώστε για κάθε x,y>0 να αληθεύει η

min\{\sqrt{x},\sqrt{y}\}\cdot max\{f(x),f(y)\} \le max\{\sqrt{x},\sqrt{y}\}\cdot min\{f(x),f(y)\}

Να αποδειχθεί ότι είναι συνεχής.


Σπύρος Καπελλίδης
air
Δημοσιεύσεις: 116
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 20, 2010 4:28 pm

Re: Συνεχής συνάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από air » Κυρ Ιαν 01, 2012 9:23 am

Καλή χρονιά! (εγκαινιάζω αυτή τη υποσυζήτηση για το 2012 :santalogo:)

Ισχύει ότι max(a,b)=\frac{a+b+|a-b|}{2},min(a,b)=\frac{a+b-|a-b|}{2}.

Λαμβάνοντας υπόψην το πεδίο ορισμού της συναρτησιακής σχέσης και το σύνολο τιμών της f προκύπτει τότε από την αρχική ότι:

|f(x)-f(y)|\leq (\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+|\sqrt{x}-\sqrt{y}|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}-|\sqrt{x}-\sqrt{y}|}-1)\frac{f(x)+f(y)-|f(x)-f(y)|}{2}

Παρατηρώ ακόμα ότι f(x)+f(y)-|f(x)-f(y)| \leq 2f(x) και άρα |f(x)-f(y)|\leq (\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+|\sqrt{x}-\sqrt{y}|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}-|\sqrt{x}-\sqrt{y}|}-1)f(x).

Για y \to x προκύπτει το ζητούμενο.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11536
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συνεχής συνάρτηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιαν 01, 2012 3:15 pm

s.kap έγραψε:Έστω συνάρτηση f;(0,+\infty) \to (0,+\infty) ώστε για κάθε x,y>0 να αληθεύει η

min\{\sqrt{x},\sqrt{y}\}\cdot max\{f(x),f(y)\} \le max\{\sqrt{x},\sqrt{y}\}\cdot min\{f(x),f(y)\}

Να αποδειχθεί ότι είναι συνεχής.
Αλλιώς: Για σταθερό c έχουμε από την υπόθεση ότι

\displaystyle{f(x) \le \max (f(c),f(x)) \le \frac {\max\{\sqrt{c},\sqrt{x}\}}{\min\{\sqrt{c},\sqrt{x}\}} \min\{f(c),f(x)\} \le

\displaystyle{ \le \frac {\max\{\sqrt{c},\sqrt{x}\}}{\min\{\sqrt{c},\sqrt{x}\}} \cdot f(c)

και όμοια \displaystyle {f(x) \ge \frac {\min \{\sqrt{c},\sqrt{x}\}}{\max \{\sqrt{c},\sqrt{x}\}} \cdot f(c).

Με άλλα λόγια \displaystyle{  \frac {\min \{\sqrt{c},\sqrt{x}\}}{\max \{\sqrt{c},\sqrt{x}\}} \cdot f(c) \le f(x) \le \frac {\max\{\sqrt{c},\sqrt{x}\}}{\min\{\sqrt{c},\sqrt{x}\}} \cdot f(c) }

Παίρνουμε τώρα όριο x τείνοντος στο c. Από ισοσυγκλίνουσες, δεδομένου ότι \displaystyle{\lim _{x\to c}  \frac {\min \{\sqrt{c},\sqrt{x}\}}{\max \{\sqrt{c},\sqrt{x}\}} =\lim _{x\to c}  \frac {\max \{\sqrt{c},\sqrt{x}\}}{\min \{\sqrt{c},\sqrt{x}\}} =1 } (ένας τρόπος να το δούμε είναι με πλευρικά όρια αλλά γίνεται και αλλιώς) έπεται το ζητούμενο.

Φιλικά,

Μιχάλης


s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Συνεχής συνάρτηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Κυρ Ιαν 01, 2012 8:29 pm

Και άλλη μια:

Η σχέση γράφεται ισοδύναμα:

ln\left(min\{\sqrt{x},\sqrt{y}\}\right)+ln\left(max\{f(x),f(y)\}\right) \le ln\left(max\{\sqrt{x},\sqrt{y}\}\right)+ln\left(min\{f(x),f(y)\}\right)

\Leftrightarrow min\left(ln(\sqrt{x}),ln(\sqrt{y})\right)+max\left(lnf(x),lnf(y)\right) \le
max\left(ln(\sqrt{x}),ln(\sqrt{y})\right)+min\left(lnf(x),lnf(y)\right)

(γιατί ln\left(max\{x,y\}\right)=max\{lnx,lny\} και ln\left(min\{x,y\}\right)=min\{lnx,lny\})

\Leftrightarrow max\{lnf(x),lnf(y)\}-min\{lnf(x),lnf(y)\} \le max\{\frac {lnx}{2},\frac {lny}{2}\}-min\{\frac {lnx}{2},\frac {lny}{2}\}

\Leftrightarrow \left|lnf(x)-lnf(y)\right| \le \frac {1}{2} \left|lnx-lny\right| (1)

Η (1) για x=e^x και y=e^y δίνει

\left|lnf(e^x)-lnf(e^y)\right| \le \frac {1}{2} \left|x-y\right|,\ \forall x,y \in \mathbb{R}

Συνεπώς η g(x)=lnf(e^x) είναι συνεχής στο \mathbb{R} (Lipschitz), άρα και η

h(x)=f(e^x)=e^{g(x)} είναι συνεχής στο \mathbb{R}, άρα και η

f(x)=h(lnx) είναι συνεχής στο (0,+\infty)


Σπύρος Καπελλίδης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης