Συνεχής συνάρτηση

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Συνεχής συνάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Σάβ Ιούλ 25, 2009 8:34 pm

Βάζω το λινκ για τυχόν λάθος στην μετάφραση http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=275537
Έστω \displaystyle{ f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} }
γνησίως αύξουσες συναρτήσεις τέτοιες ώστε η \displaystyle{ h=f\circ g+f } να είναι επί.Να αποδείξετε ότι οι f,g είναι συνεχείς.


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8262
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Συνεχής συνάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Ιούλ 26, 2009 1:12 pm

Για κάθε μονότονη συνάρτηση υπάρχουν τόσο τα αριστερά όσο και το δεξιά όρια. Αν λοιπόν η f δεν είναι συνεχής τότε θα υπάρχει t ώστε

\displaystyle \lim_{x \to t^-} f(x) < \lim_{x \to t^+} f(x).

Αλλά τότε

\displaystyle \lim_{x \to t^-} h(x) = \lim_{x \to t^-} f {\color{blue}(}g(x){\color{blue})} + \lim_{x \to t^-} f(x) < \lim_{x \to t^+} f {\color{blue}(}g(x){\color{blue})} + \lim_{x \to t^+} f(x) = \lim_{x \to t^+} h(x).

(Χρησιμοποιήσαμε ότι οι f,g είναι αύξουσες άρα και η f {\color{blue}\circ} g είναι αύξουσα.) Άρα η συνάρτηση h δεν είναι επί. (Δεν παίρνει καμία τιμή στο διάστημα \displaystyle \left(\lim_{x \to t^-} h(x),\lim_{x \to t^+} h(x) \right).) Με παρόμοιο τρόπο, αν η g είναι ασυνεχής στο t τότε και η h δεν μπορεί να είναι επί. (Εδώ θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε και ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.)

[Η ίδια απόδειξη δείχνει ότι το θεώρημα παραμένει ορθό και αν η g είναι αύξουσα (αντί γνησίως αύξουσα).]

EDIT: Έκανα μερικές διορθώσεις μετά από μήνυμα του Ν. Μαυρογιάννη.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης