4 όμορφα θέματα στον ορισμό της συνάρτησης

fotios · #1

1. Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ για την οποία $f(0)=\frac{1}{\alpha}$ , $\alpha\neq 0$ και $f(x)+\alpha f(\ln{x})=\alpha$ για κάθε $x,\alpha\in\mathbb{R}$ . Να βρεθεί η τιμή f(e)

. (διορθωμένη)

2. Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ για την οποία $f(x-1)-1\leq x(x-2)\leq f(x)-2x$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ . Να βρεθεί ο τύπος της

.

3. Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ με τύπο $f(x)=\frac{\alpha}{x^2+\alpha^2}$ , $\alpha\in\mathbb{R}$ . Εφόσον για $\alpha=0$ έχουμε f(x)=0

ο αριθμός $\alpha$ μπορεί να πάρει κάθε τιμή του συνόλου των πραγματικών αριθμών. Σ / Λ

4. Ο κανόνας με τύπο $|f(x)|=\sqrt{1-x^2}$ παριστάνει συνάρτηση. Σ / Λ

Γιώργος Απόκης · #2

fotios έγραψε:1. Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ για την οποία $f(0)=\frac{1}{\alpha}$ για κάθε $\alpha\neq 0$ και $f(x)+\alpha f(\ln{x})=\alpha$ για κάθε $x,\alpha\in\mathbb{R}$ . Να βρεθεί η τιμή .

Για το 1.

Στη δοσμένη σχέση, για x=1

, έχουμε : $\displaystyle{f(1)+af(0)=a\Rightarrow f(1)+a\cdot\frac{1}{a}=a\Rightarrow f(1)=a-1}$ .

Oμοίως, για x=e

, έχουμε : $\displaystyle{f(e)+af(1)=a\Rightarrow f(e)+a(a-1)=a\Rightarrow f(e)=a-a(a-1)\Rightarrow f(e)=2a-a^2}$ .

#3

fotios έγραψε:1. Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ για την οποία $f(0)=\frac{1}{\alpha}$ για κάθε $\alpha\neq 0$ και $f(x)+\alpha f(\ln{x})=\alpha$ για κάθε $x,\alpha\in\mathbb{R}$ . Να βρεθεί η τιμή .

Εδώ μάλλον εννοείς: Δίνεται $\alpha \neq 0$ και συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ για την οποία $f(0)=\frac{1}{\alpha}$ και $f(x)+\alpha f(\ln{x})=\alpha$ για κάθε x > 0

. Να βρεθεί η τιμή f(e)

.

fotios · #4

1) Γιώργο η λύση σου είναι μισή μιας και το αποτέλεσμα σου δεν περιέχει την περίπτωση που $\alpha=0$ , για την οποία από τη δοθείσα σχέση έχεις f(x)=0

για κάθε $x\in\mathbb{R}^+$ , οπότε f(e)=0

.
2) Demetres εννοώ ακριβώς αυτό που γράφω και αυτό που γράφω ΔΕΝ είναι φυσικά ίδιο με αυτό που γράφεις εσύ όσο αφορά το $\alpha$ . Όσο αφορά το

έχεις απόλυτο δίκαιο, $x\in\mathbb{R}^{+}$ .

#5

fotios έγραψε: 2) Demetres εννοώ ακριβώς αυτό που γράφω και αυτό που γράφω ΔΕΝ είναι φυσικά ίδιο με αυτό που γράφεις εσύ όσο αφορά το $\alpha$ . Όσο αφορά το έχεις απόλυτο δίκαιο, $x\in\mathbb{R}^{+}$ .

Μα αυτό που γράφεις δεν έχει νόημα. Όταν λές

fotios έγραψε:1. Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ για την οποία $f(0)=\frac{1}{\alpha}$ για κάθε $\alpha\neq 0$ <...>

τότε για $\alpha = 1$ έχουμε f(0) = 1

και για $\alpha = 2$ έχουμε f(0) = 1/2

. Επομένως τέτοια συνάρτηση δεν υπάρχει.

fotios · #6

Έχεις δίκιο η σωστή φράση είναι "για κάποιο $\alpha\in\mathbb{R}$ "

#7

fotios έγραψε: 3. Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ με τύπο $f(x)=\frac{\alpha}{x^2+\alpha^2},\quad\alpha\in\mathbb{R}$ . Εφόσον για $\alpha=0$ έχουμε ο αριθμός $\alpha$ μπορεί να πάρει κάθε τιμή του συνόλου των πραγματικών αριθμών. Σ / Λ

Φώτη καλησπέρα.
Να πω κι εγώ με τη σειρά μου πως δεν καταλαβαίνω τι ζητάς στο (3)

Μα το $a\in\mathbb{R}$ δε λες στην αρχή;
Ωραία ερωτήματα μα μήπως θα έπρεπε να έχουν μία καλύτερη διατύπωση;
Από τη στιγμή που τα βάζεις σε φάκελο που απευθύνεται και σε μαθητές;
Καλό απόγευμα.

fotios · #8

Η ερώτηση είναι Σ/Λ!! Είναι δυνατό να είναι αληθής (ή όχι) η πρόταση? Επίσης αν αισθάνεσαι καλύτερα με τη διατύπωση "όπου $\alpha$ πραγματικός αριθμός" το δέχομαι.

#9

fotios έγραψε:Η ερώτηση είναι Σ/Λ!! Είναι δυνατό να είναι αληθής (ή όχι) η πρόταση? Επίσης αν αισθάνεσαι καλύτερα με τη διατύπωση "όπου $\alpha$ πραγματικός αριθμός" το δέχομαι.

Κοίτα το είδα πως είναι σωστό-λάθος, μα αναρωτιέμαι το νόημα της ερώτησης από τη στιγμή που λές $a\in\mathbb{R}$
δε μπορεί κάποιος να βάλει στη θέση του

ότι επιθυμεί;
Αυτομάτως δεν έχεις δημιουργήσει μία μονοπαραμετρική οικογένεια συναρτήσεων;
Περίεργη ερώτηση...

fotios · #10

Εφόσον το πεδίο ορισμού της δοθείσας συνάρτησης είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών τότε πρέπει $x^2+\alpha^2\neq 0$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ το οποίο είναι αληθές για κάθε $\alpha\neq 0$ . Αντίστροφα, αν $\alpha=0$ η συνάρτηση ΔΕΝ έχει τύπο f(x)=0

, διότι αυτό υπονοεί ότι το πηλίκο 0/x^2=0

για κάθε $x\in\mathbb{R}$ το οποίο δεν είναι αληθές μιας και για x=0

δεν είναι οριζεται. $\alpha\in\mathbb{R^*}=\mathbb{R}\backslash\{0\}$ .

#11

fotios έγραψε:Εφόσον το πεδίο ορισμού της δοθείσας συνάρτησης είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών τότε πρέπει $x^2+\alpha^2\neq 0$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ το οποίο είναι αληθές για κάθε $\alpha\neq 0$ . Αντίστροφα, αν $\alpha=0$ η συνάρτηση ΔΕΝ έχει τύπο , διότι αυτό υπονοεί ότι το πηλίκο για κάθε $x\in\mathbb{R}$ το οποίο δεν είναι αληθές μιας και για δεν είναι οριζεται. $\alpha\in\mathbb{R^*}=\mathbb{R}\backslash\{0\}$ .

Και αυτό το είδα.
Κάτσε όμως να αυτοσχεδιάσω. Λες:

fotios έγραψε: Εφόσον για $\alpha=0$ έχουμε

αυτό είναι ψευδές(δεν ισχύει για x=0). Επομένως ψευδή υπόθεση έχουμε άρα αληθή συνεπαγωγή.
Αναφωνώ λοιπόν:
Σωστό, σωστό!!
Πάω για ξεκούσραση.
Καλό απόγευμα.

#12

Και πριν κοιμηθώ ολοκληρωτικά ας δώσω και μία απάντηση για το

.
Απαντάω σωστό γιατί με το έτσι θέλω μου ήρθε η συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο: $\displaystyle{ A = \left\{ {0,1} \right\} }$ και σύνολο τιμών το $\displaystyle{ B = \left\{ {0,1} \right\} }$ με f(0)=1,f(1)=0

η οποία ικανοποιεί τη δοθείσα σχέση.
Να έχετε ένα καλό απόγευμα.

fotios · #13

Να υποθέσω ότι για να γράφεις, αυτό που γράφεις έχεις αλλάξει την εκφώνηση νοητά σε $\forall\alpha\in\mathbb{R}$ ώστε να βγάλεις την υπόθεση ψευδή, ελαφρώς αυθαίρετο . . . η δήλωση είναι μία αληθέστατη δήλωση, ο $\alpha$ είναι πραγματικός αριθμός (δεν καταλαβαίνω ποιο είναι το πρόβλημα με τη δήλωση $1\in\mathbb{R}$ ), το αν παίρνει τιμές από όλο το σύνολο είναι άλλο. Σωστή υπόθεση, λάθος στην αιτιολόγηση, λάθος το ότι ο $\alpha$ μπορεί να πάρει όλες τις τιμές του συνόλου, αναφωνώ κι εγώ με τη σειρά μου Λ Α Θ Ο Σ, Λ Α Θ Ο Σ! Καλή σου ξεκούραση!

fotios · #14

Δεκτή η διακριτή συνάρτηση διακριτής μεταβλητής που αναφέρεις, αλλά αυτό δυστυχώς δεν κάνει μία γενική πρόταση σωστή, οπότε γενικά είναι λάθος γιατί μπορούμε να βρούμε με ευκολία περισσή μία απεικόνιση για την οποία η πρόταση είναι ψευδής.

fotios · #15

Σε αυτό το σημείο αξίζει να σημειώσω λοιπόν ότι μία δήλωση της μορφής $\alpha\in A$ σημαίνει ([1],[2],[3]) σε ακριβή μετάφραση του [1] "το $\alpha$ είναι ένα στοιχείο του συνόλου

" και σε καμία περίπτωση δεν υπονοείται ότι μπορεί να είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο του συνόλου

αν αυτό δεν αναφερθεί. Βάση αυτού, στο παραπάνω παράδειγμα η δήλωση $\alpha\in\mathbb{R}$ σημαίνει ο $\alpha$ είναι ένα στοιχείο του συνόλου των πραγματικών αριθμών (και όχι ένα οποιοδήποτε στοιχείο αυτού).

[1] Mathematical analysis - An introduction, Andrew Browder, Springer
[2] Introductory real analysis, A. N. Kolmogorov & S.V. Fomin, Dover
[3] Principles of mathematical analysis, W. Rudin, McGraw-Hill

chris · #16

Εγώ πάλι βλέπω ασάφειες!

4. Ο κανόνας με τύπο $\displaystyle \left|f(x) \right|=\sqrt{1-x^2}$ παριστάνει συνάρτηση. Σ / Λ

Σε κάποιες περιπτώσεις ναι και σε κάποιες όχι είναι η απάντηση.Όταν βάζουμε ερώτηση Σ-Λ δεν πρέπει να επιδέχεται δύο απαντήσεις.Πρέπει να είναι ή Σωστή ή Λάθος!Όχι πότε έτσι πότε γιουβέτσι αλλιώς δεν έχει δικαίωμα ο καθηγητής να κόψει μονάδες.

Αν είχατε στο μυαλό σας ως απάντηση το λάθος τότε η σωστή πρόταση είναι:

Ο κανόνας με τύπο $\displaystyle \left|f(x) \right|=\sqrt{1-x^2}$ παριστάνει πάντα(ή σε κάθε περίπτωση) συνάρτηση.
Ή κάτι ανάλογο που να μην επιδέχεται αμφισβήτηση.

Εντιτ: να προσθέσω ότι έχουν γίνει συζητήσεις επί συζητήσεων για το θέμα αυτό στο φόρουμ!

fotios · #17

Θα επιμείνω ότι η πρόταση δεν επιδέχεται καμία αμφισβήτηση ότι είναι λάθος. Δια της αντιστρόφου λογικής η πρόταση "η γη γυρίζει" είναι λάθος γιατί δεν έχω καθορίσει αν γυρίζει πάντα αλλά γλωσσολογικά η πρόταση "η γη γυρίζει" υπονοεί το αέναο του χαρακτήρα της κίνησης και δεν απαιτείται. Με το ίδιο ακριβώς σκεπτικό αν ήθελα τη βγάλω σωστή θα έγραφα κάτι τέτοιο . . . υπάρχει συνάρτηση

για την οποία $|f(x)|=\sqrt{1-x^2}$ (όπου φυσικά και εδώ γλωσσολογικά εννούμε "υπάρχει κάποιο μη μηδενικό πλήθος συναρτήσεων", το οποίο είναι υπερβολή του λόγου και δεν προωθεί με καλύτερο ή χειρότερο τρόπο τη σαφήνεια)

#18

fotios έγραψε:Να υποθέσω ότι για να γράφεις, αυτό που γράφεις έχεις αλλάξει την εκφώνηση νοητά σε $\forall\alpha\in\mathbb{R}$ ώστε να βγάλεις την υπόθεση ψευδή, ελαφρώς αυθαίρετο . . . η δήλωση είναι μία αληθέστατη δήλωση, ο $\alpha$ είναι πραγματικός αριθμός (δεν καταλαβαίνω ποιο είναι το πρόβλημα με τη δήλωση $1\in\mathbb{R}$ ), το αν παίρνει τιμές από όλο το σύνολο είναι άλλο. Σωστή υπόθεση, λάθος στην αιτιολόγηση, λάθος το ότι ο $\alpha$ μπορεί να πάρει όλες τις τιμές του συνόλου, αναφωνώ κι εγώ με τη σειρά μου Λ Α Θ Ο Σ, Λ Α Θ Ο Σ! Καλή σου ξεκούραση!

Ευχαριστώ! Φρεσκαρίστηκα.
Μα αν θέσω όπου a=0

η συνάρτηση που εσύ δίνεις δε δίνει ολοκληρωτικά μηδέν γιατί αν x=0

έχω πρόβλημα, δε νομίζεις;
Επομένως ως υπόθεση αυτή που δίνεις είναι ψευδής.

fotios · #19

Βασικά έχει πολύ λίγη σημασία τι νομίζω εγώ . . . από μόνη της μία έκφραση $x\in A$ σημαίνει "το

είναι κάποιο στοιχείο του συνόλου Α" (τουλάχιστον σε όποια ξενόγλωσση πηγή κοίταξα), οπότε μεταφράζω την ερώτηση ως f(x)=...,

για κάποιο (και σε καμία περίπτωση για κάθε) $\alpha\in\mathbb{R}$ , αν το σύνολο αυτό είναι ολόκληρο το $\mathbb{R}$ ή όχι δεν το γνωρίζουμε σε καμία περίπτωση εκ των προτέρων. Εσύ επιμένεις να κάνεις τη θεώρηση ότι η δήλωση $, 1\in\mathbb{R}$ σημαίνει ότι ο αριθμός

μπορεί να είναι οποιοδήποτε στοιχείο του $\mathbb{R}$ με το οποίο διαφωνώ, μιας και φυσικά το $\mathbb{R}$ δεν είναι το μικρότερο δυνατο σύνολο στο οποίο ανήκει ο αριθμός ένα αλλά η δήλωση παραμένει αληθής. Δεν ξέρω αν έχει παρεξηγηθεί κατά τη μετάφραση κάτι αλλά βάση του ορισμού του τι σημαίνει όταν γράφω $x\in A$ , το στοιχείο

είναι ένα πολύ συγκεκριμένο στοιχείο του συνόλου

και όχι οποιοδήποτε στοιχείο, οπότε η άσκηση δε λέει ότι μπορείς απαραίτητα να βάλεις την τιμή μηδέν (και σε βιβλία μερικών διαφορικών εξισώσεων που είναι το ερευνητικό μου αντικείμενο εννοούμε αυτό που σου εξηγώ, αν θέλουμε να πούμε ότι σου δίνετε η ελευθερία να πάρεις οποιαδήποτε τιμή από το αναγραφόμενο σύνολο πρέπει να γραφεί το $\forall$ ). . . η πρόταση είναι αληθής. Βασικά γράφουμε πολύ συχνά για να δηλώσουμε ότι ένας αριθμός είναι πραγματικός για κάποια (πολύ συγκεκριμένα) $\alpha\in\mathbb{R}$ και το βρίσκω 100% αυτοσυνεπές με τον ορισμό.

Όσο αφορά το αν είναι ασαφής η άλλη ερώτηση έχω απλά να συμπληρώσω ότι βάση του ορισμού της θεωρίας λογικής η απάντηση που δόθηκε "άλλες φορές ναι και άλλες όχι" για τον (σπουδαστή ή όχι) μαθηματικό είναι σκέτο "όχι". Είναι σα να ρωτάς αν είναι αληθής ή ψευδής η δήλωση $\ln{x}=1$ .

#20

Φώτη ξανά σε καλησπερίζω.
Χωρίς να θέλω να συνεχίσω(εξέφρασα αυτό που πιστεύω και δεν έχω κάτι άλλο να πω) σου συστήνω αν βάλεις ποτέ θέματα πανελληνίων, να αποφύγεις τα σωστά-λάθος!

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

4 όμορφα θέματα στον ορισμό της συνάρτησης

4 όμορφα θέματα στον ορισμό της συνάρτησης

Re: 4 όμορφα θέματα στον ορισμό της συνάρτησης

Re: 4 όμορφα θέματα στον ορισμό της συνάρτησης

Re: 4 όμορφα θέματα στον ορισμό της συνάρτησης

Re: 4 όμορφα θέματα στον ορισμό της συνάρτησης

Re: 4 όμορφα θέματα στον ορισμό της συνάρτησης

Re: 4 όμορφα θέματα στον ορισμό της συνάρτησης

Re: 4 όμορφα θέματα στον ορισμό της συνάρτησης

Re: 4 όμορφα θέματα στον ορισμό της συνάρτησης

Re: 4 όμορφα θέματα στον ορισμό της συνάρτησης

Re: 4 όμορφα θέματα στον ορισμό της συνάρτησης

Re: 4 όμορφα θέματα στον ορισμό της συνάρτησης

Re: 4 όμορφα θέματα στον ορισμό της συνάρτησης

Re: 4 όμορφα θέματα στον ορισμό της συνάρτησης

Re: 4 όμορφα θέματα στον ορισμό της συνάρτησης

Re: 4 όμορφα θέματα στον ορισμό της συνάρτησης

Re: 4 όμορφα θέματα στον ορισμό της συνάρτησης

Re: 4 όμορφα θέματα στον ορισμό της συνάρτησης

Re: 4 όμορφα θέματα στον ορισμό της συνάρτησης

Re: 4 όμορφα θέματα στον ορισμό της συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση