Εύρεση τύπου συνάρτησης δοθείσας σχέσης με χρήση μονοτονίας

[fotios]

Θεωρούμε την παραγωγίσιμη και ορισμένη στο διάστημα συνάρτηση για την οποία , . Να δείξετε ότι υπάρχει αριθμός τέτοιος ώστε για κάθε .

[Γιώργος Απόκης]

Θεωρούμε την παραγωγίσιμη και ορισμένη στο διάστημα συνάρτηση για την οποία , . Να δείξετε ότι υπάρχει αριθμός τέτοιος ώστε για κάθε .

Μια λύση χωρίς μονοτονία:

Για κάθε , έχουμε : .

H είναι συνεχής στο ως παραγωγίσιμη άρα υπάρχει , τέτοιος ώστε για κάθε .

[fotios]

Πολύ ωραία Γιώργο!! Ίσως βρεις παραπλανητικό τον τίτλο αν σου πω ότι μπορείς να θέσεις και να δείξεις ότι η είναι η σταθερή συνάρτηση μιας και δεν είναι ούτε γνησίως αύξουσα αλλά ούτε και γνησίως φθίνουσα επειδή . Αυτό ακριβώς είναι και το σημείο που επιθυμεί να διαλευκάνει η άσκηση. (Εναλλακτικά το θέμα μπορεί να αντιμετωπιστεί στα πλαίσια επίλυσης της δοθείσας διαφορικής εξίσωσης ή φυσικά όπως το έλυσες εσύ.)

[Mihalis_Lambrou]

<...> να δείξεις ότι η είναι η σταθερή συνάρτηση μιας και δεν είναι ούτε γνησίως αύξουσα αλλά ούτε και γνησίως φθίνουσα επειδή . <...>

Κάπου τα μπλέκουμε εδώ: Η σταθερές δεν είναι, βέβαια, ούτε γνησίως αύξουσες ούτε γνησίως φθίνουσες. Αλλά αυτό που λες είναι ότι αν μία συνάρτηση δεν είναι ούτε γνησίως αύξουσα ούτε γνησίως φθίνουσα, τότε είναι σταθερή. Αυτό δεν ισχύει. Υπάρχουν πάμπολλα παραδείγματα. Λόγου χάρη η δεν είναι ούτε γνησίως αύξουσα ούτε γνησίως φθίνουσα σε οποιοδήποτε διάστημα περιέχει το , αλλά δεν είναι σταθερή.

Μ.

[fotios]

. . . και επίσης δεν έχει μηδενική παράγωγο για κάθε των υποδιαστημάτων που αναφέρεις. Αν διαβάσεις πιο προσεκτικά την πρόταση που έχω γράψει θα δεις ότι δεν υπονοεί ή δηλώνει ότι κάθε μη αύξουσα και μη φθίνουσα συνάρτηση είναι σταθερή αλλά κάθε συνάρτηση που είναι μη αύξουσα και μη φθίνουσα επειδή είναι σταθερή!

Έστω η συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο συνάρτηση . Αν για κάθε , τότε η είναι η σταθερή συνάρτηση στο . Για κάθε για τα οποία έχουμε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε για κάποιο . Επειδή για κάθε τότε .

[Mihalis_Lambrou]

Αν διαβάσεις πιο προσεκτικά την πρόταση που έχω γράψει θα δεις ότι δεν υπονοεί ή δηλώνει ότι κάθε μη αύξουσα και μη φθίνουσα συνάρτηση είναι σταθερή

Θα διαφωνήσω. Γι' αυτό επισήμανα το σημείο που γράφεις μιας και δεν είναι. Τι άλλο μπορεί να σημαίνει το "μιας";

<...> να δείξεις ότι η είναι η σταθερή συνάρτηση μιας και δεν είναι ούτε γνησίως αύξουσα αλλά ούτε και γνησίως φθίνουσα επειδή . <...>

Άλλωστε, η πασίγνωστη απόδειξη που δίνεις ότι η μηδενική παράγωγος συνεπάγεται σταθερή συνάρτηση ΔΕΝ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙ ΤΗΝ ΥΠΟΘΕΣΗ περί γνησίως αύξουσας/φθίνουσας συνάρτησης. Αντιθέτως, ΠΡΩΤΑ δείχνουμε ότι η μηδενική παράγωγος συνεπάγεται σταθερή συνάρτηση και META καταλήγουμε ότι δεν είναι γνησίως αύξουσα/φθίνουσα.

Μ.

[fotios]

"μιας και δεν είναι ούτε γνησίως αύξουσα αλλά ούτε και γνησίως φθίνουσα επειδή g'=0" είναι ολόκληρη η πρόταση . . . " μιας=εφόσον" αλλά ακολουθεί και ο λόγος για τον οποίο δεν είναι και αποτελεί μέρος της αιτιολόγησης όχι γενικά "μιας και δεν είναι γνησίως αύξουσα αλλά ούτε γνησίως φθίνουσα" αλλά "μιας και δεν είναι γνησίως αύξουσα αλλά ούτε γνησίως φθίνουσα εξ'αιτίας του ότι ". Κοινώς, "μία συνάρτηση είναι η σταθερή συνάρτηση κάθε φορά που δεν είναι γνησίως αύξουσα αλλά ούτε γνησίως φθίνουσα εξ'αιτίας του ότι ισχύει ", που τη βρίσκω αληθή και γλωσσικά ακριβή.

Βασικά νομίζω εσύ τη διαβάζεις βάζοντας κόμμα μετά τη λέξη φθίνουσα (μόνο σε αυτή την περίπτωση είναι ψευδής).

Φιλικά

[Mihalis_Lambrou]

... μία συνάρτηση είναι η σταθερή συνάρτηση κάθε φορά που δεν είναι γνησίως αύξουσα αλλά ούτε γνησίως φθίνουσα εξ'αιτίας του ότι ισχύει ", που τη βρίσκω αληθή και γλωσσικά ακριβή.

Επανέρχομαι μόνο και μόνο επειδή μας διαβάζουν μαθητές και καλό είναι να μην τους μπερδεύουμε. Πάντως δεν θα επανέλθω γιατί για μένα το θέμα είναι τετριμμένο. Σίγουρα αν το έγραφε έτσι φοιτητής μου σε διαγώνισμα, θα έχανε κάποια δέκατα λόγω έλλειψης κατανόησης του ουσιώδους από το επουσιώδες σε έναν μαθηματικό συλλογισμό.

Αν ήταν σωστό αυτό που γράφεις, θα ήταν εξ ίσου σωστό να πούμε την εξής παραλλαγή

... μία συνάρτηση είναι η σταθερή συνάρτηση κάθε φορά που δεν είναι η συνάρτηση (λέω τώρα) obelix εξ'αιτίας του ότι ισχύει .

Σωστά; Όχι. Το σωστό είναι

... μία συνάρτηση είναι η σταθερή συνάρτηση κάθε φορά που ισχύει .

Όλα τα άλλα όπως γνήσια αύξουσα συνάρτηση, γνήσια φθίνουσα συνάρτηση, συνάρτηση obelix, ΕΙΝΑΙ ΠΕΡΙΤΤΑ. Είναι τα επουσιώδη που αναφέρω παραπάνω. Το ουσιώδες είναι το .

Δεν επανέρχομαι στο θέμα γιατί έχω εξαντλήσει τα επιχειρήματά μου. Πιο απλά δεν μπορώ.

Μ.

[fotios]

. . . και για εμένα τετριμμένο είναι το θέμα και φυσικά δεν έχω κόψει βαθμούς για κάτι τέτοιο από τους φοιτητές μου!! =)) . . . π.χ.

"ο φώτης είναι ενοχλητικός κάθε φορά που δεν κοιμάται καλά εξ'αιτίας του ότι ήπιε πολύ καφέ"

Η πρόταση αυτή είναι δομικά ίδια με τη δική μου και δε λέει ότι γενικά ο φώτης είναι ενοχλητικός κάθε φορά που δεν κοιμάται καλά αλλά μόνο όταν δεν κοιμάται καλά επειδή ήπιε πολύ καφέ (επίσης, σε καμία περίπτωση δε λέει ότι ο φώτης δεν είναι ενοχλητικός όταν πίνει λεμονάδα), βάση αυτού η δική μου πρόταση αποκρύπτει τη γενικότητα που προσφέρει η δική σου εκδοχή αλλά αυτό δεν την καθιστά ψευδή (όπως υποστήριξες)! Τώρα το αν έχει περιττές πληροφοριες ή όχι έχει να κάνει με το τι σε ενδιαφέρει . . . η πρόταση που γράφεις εσύ θα ήταν

"ο φώτης είναι ενοχλητικός κάθε φορά που πίνει πολύ καφέ"

η οποία αποκρύπτει από τον αναγνώστη μία πληροφορία προς χάρη την γενικότητας που προσφέρει (η οποία ίσως να είναι σημαντική όπως στο παραπάνω παράδειγμα) . . . ας βγάλει ο καθένας τα συμπεράσματα του.

Φιλικά

[dennys]

καλησπέρα σε ολους

Θα ήθελα να ρωτήσω τον Φώτη ,αν είναι καθηγητής πανεπιστημίου όπως ο κ. Λάμπρου ,αλλίώς σε ποιούς φοιτητές αναφέρεται.

Αν δεν είναι τότε αυτά που είπε είναι απο καθαρή ειρωνεία.Προτού όμως πω οτιδήποτε άλλο ας μας πει που διδάσκει ο Φώτης.

Ευχαριστώ.dennys

[fotios]

Αυτά που έχω διδάξει στα πανεπιστήμια του Lund/Umea της Σουηδίας είναι: Αριθμητική και Συναρτησιακή Ανάλυση, Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων και Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις, Χαμιλτονιανή Δυναμική και Συμπλεκτικές απεικονίσεις, Δυναμικά συστήματα - Χάος, Στοχαστικά δυναμικά συστήματα (αν εξαιρέσω τα των τμημάτων Φυσικής Μαθηματική Μηχανική, Κβάντομηχανική Ι, ΙΙ, ΙΙΙ και Αστροφυσική). Παρατήρησε ότι έγραψα "δεν έχω κόψει βαθμούς", πλέον εργάζομαι ως φροντιστηριακός εκπαιδευτικός (2βάθμια κ 3βάθμια) με μερικές ερευνητικές δραστηριότητες στη βελτιστοποίηση σχήματος . . . πολύ περιττή η διαδικασία κατάθεσης βιογραφικού, δεν έχω λόγο να ειρωνευτώ κανέναν και πόσο μάλλον έναν άνθρωπο που δε γνωρίζω προσωπικά και απλά διαφωνώ μαζί του.

Φιλικά
Φώτης

[dennys]

Φώτη καλησπέρα , καλά το είχα καταλάβει ότι είσαι δάσκαλος.

Με τόση εμπειρία και γνώση σαν καθηγητης πανεπιστημίου στην Σουηδία ,προσπάθησε να δείχνεις τίς γνώσεις σου

με ωραίο τρόπο, και συμβουλή μου με σεβασμό ,ειδικά αν αναφέρεσαι σε κάποιον που αφου δεν τον ξέρεις οπως είπες μπορεί να είναι καθηγητής σε

ανώτερο πανεπιστήμιο απο αυτό της Σουηδίας. (σίγουρα θα υπάρχει).

Αυτά προς το παρόν , μόλις πλουτίσω τις γνώσεις μου σε κάποια πράγματα θα επανέλθω.(χωρίς ειρωνεία)

dennys
(απλός φροντιστής μαθηματικών λυκείου)

[fotios]

Εφόσον δε γνωρίζω κανέναν προσωπικά όλοι είναι ίσοι, κρίνω απλά αυτό που λένε και όχι το ποιοι είναι ή που δουλεύουν. Δε με αφορά αν εργάζονται στο Cambridge, στο Harvard ή στο μικρότερο φροντιστήριο της χώρας. Στα μαθηματικά και στην επιστήμη η πρόταση "σπούδασα εκεί", "δουλεύω εδώ", κ.ο.κ. δεν καθορίζουν την αλήθεια των λεγομένων των ανθρώπων. Για να σου πω την αλήθεια, δεν κοιτάω ουδέποτε σε ποιον απαντάω (ούτε καν γνωρίζω αν είναι μαθητής ή εκπαιδευτικός), διαβάζω το κείμενο και αν διαφωνώ, διαφωνώ αν όχι δεν απαντάω. Δεν αντιλαμβάνομαι γιατί βρίσκεις το (παραπάνω) παράδειγμα μου ασεβές, νομίζω ότι είναι πολύ εύστοχο.

Φιλικά
Φώτης

[nsmavrogiannis]

Αγαπητέ Φώτη
Καλώς ήλθες στο mathematica
Αν έχεις διαβάσει τον κανονισμό μας θα γνωρίζεις ότι βασικός κανόνας με τον οποίο συνεργαζόμαστε σε αυτή την μεγάλη διαδικτυακή κοινότητα είναι η ισηγορία. Όλοι έχουν δικαίωμα λόγου, δεν παραχωρείται καμία προτεραιότητα στην αυθεντία (εξ΄άλλου μαθηματικά κάνουμε) και δεν έχει στην κουβέντα μας ιδιαίτερη σημασία το status του συνομιλητή μας.
Το mathematica έχει μέλη με διαφορετικές καταβολές που απασχολούνται στην εκπαίδευση ή αλλού είναι επαγγελματίες ή ερασιτέχνες είναι νέοι (όπως εσύ) ή περασμένης ηλικίας (όπως εγώ). Αυτό που μας κάνει να επικοινωνούμε με επιτυχία εκτός από την κοινή αγάπη μας στα Μαθηματικά είναι η διάθεση μας να ακούμε τον άλλο, να κάνουμε διάλογο και η προθυμία μας να μαθαίνουμε από τους άλλους. Και σε διαβεβαιώ ότι ο κάθε ένας από μας έχει να μάθει πολλά από πολλούς άλλους φίλους του forum. Και φυσικά η επικοινωνία μας γίνεται με ευγένεια και αποδοχή του άλλου και της προσφοράς του (πλην εξαιρέσεων όπως λ.χ. εδώ viewtopic.php?f=48&t=26196&p=129287#p129287). Με τόσους εξαιρετικούς μαθηματικούς που υπάρχουν στο mathematica η οίηση δεν είχε και δεν θα έχει ποτέ ελπίδα να ευδοκιμήσει στα διαδικτυακά μας χώματα.
Σε καλωσορίζω και πάλι και εύχομαι να έχουμε γόνιμη ανταλλαγή γνώσεων και ιδεών.
Μαυρογιάννης

[pana1333]

Φώτη δεν είχα σκοπό να μπλεχτώ αλλά δεν άντεξα. Μόνο μια κουβέντα.

Απλά πιστεύω ότι ο τρόπος σου είναι λιγάκι εκτός πνεύματος της οικογένειας του mathematica και ακόμα πιο απλά, εσένα δεν σε προβληματίζουν οι όποιες αντιδράσεις κάποιων μελών με αφορμή την "συμπεριφορά σου";

Συναδελφικά και μόνο

Πραγματικά καλώς όρισες στο

[fotios]

Πολύ πιθανό να έχεις δίκαιο και να μην ταιριάζω στο βιότοπο . . . δε το γνωρίζω αυτό, αλλά θα φανεί (πολύ σύντομα) και πρώτος εγώ θα διακόψω τη συμμετοχή στα mathematica.gr κοινά, σε βεβαιώνω.29 χρόνια ζωής μου δίδαξαν ότι δεν μπορούμε να είμαστε αρεστοί σε όλους, ούτε με τροφοδοτεί, ούτε το έχω ανάγκη. Οπότε για να απαντήσω στην ερώτηση σου όχι δε με προβληματίζει καθόλου, θα κόμιζα γλαύκα στην Αθήνα αν θεωρούσα ότι δημιουργώ μόνο συμπάθειες στη ζωή μου.

Καλή σου συνέχεια

[S.E.Louridas]

Εφόσον δε γνωρίζω κανέναν προσωπικά όλοι είναι ίσοι, κρίνω απλά αυτό που λένε και όχι το ποιοι είναι ή που δουλεύουν. Δε με αφορά αν εργάζονται στο Cambridge, στο Harvard ή στο μικρότερο φροντιστήριο της χώρας. Στα μαθηματικά και στην επιστήμη η πρόταση "σπούδασα εκεί", "δουλεύω εδώ", κ.ο.κ. δεν καθορίζουν την αλήθεια των λεγομένων των ανθρώπων. Για να σου πω την αλήθεια, δεν κοιτάω ουδέποτε σε ποιον απαντάω (ούτε καν γνωρίζω αν είναι μαθητής ή εκπαιδευτικός), διαβάζω το κείμενο και αν διαφωνώ, διαφωνώ αν όχι δεν απαντάω. Δεν αντιλαμβάνομαι γιατί βρίσκεις το (παραπάνω) παράδειγμα μου ασεβές, νομίζω ότι είναι πολύ εύστοχο.

Φιλικά
Φώτης

Φίλε Φώτη,
καλά κάνεις και αγαπάς τόσο πολύ αυτά που λές πως αγαπάς. Καλό θα είναι όμως να κατανοήσεις ότι:
"Οι αξίες αντανακλώνται δεν επιβάλλονται", αρκεί να μάθεις ότι το καλό και αυτό που πείθει είναι το αργό και μεθοδικό φίλε.
Μείνε λοιπόν στην παρέα μας και δεν θα χάσεις,... πάνω από όλα σαν άνθρωπος. Και εμείς θα κερδίσουμε από σένα. Τα άλλα βρίσκονται φίλε.
Προχωράμε...

[fotios]

. . . Καλό θα είναι, όμως να αγαπήσεις και πάλι τον εαυτό σου . . .

Γνωριζόμαστε προσωπικά και δε το θυμάμαι, γιατί μόνο ένας άνθρωπος που με έζησε θα ήταν πιθανόν σε θέση να έχει γνώση αυτής της πληροφορίας. Θα ήταν ιδιαίτερα συνετό από μέρους σου να μην κρίνεις με τόση ευκολία. Όπως δεν έκρινα και εγώ κανέναν ως άνθρωπο εδώ μέσα.

[matha]

Φώτη, καλώς ήρθες στο .

Ο τίτλος της άσκησης είναι "Εύρεση τύπου συνάρτησης δοθείσας σχέσης με χρήση μονοτονίας".
Αυτό που δεν καταλαβαίνω, και αν θέλεις μου το εξηγείς, είναι πώς βρίσκεις τον τύπο της συνάρτησης με χρήση της μονοτονίας.

Φιλικά,

Θάνος.

[S.E.Louridas]

. . . Καλό θα είναι, όμως να αγαπήσεις και πάλι τον εαυτό σου . . .

Γνωριζόμαστε προσωπικά και δε το θυμάμαι, γιατί μόνο ένας άνθρωπος που με έζησε θα ήταν πιθανόν σε θέση να έχει γνώση αυτής της πληροφορίας. Θα ήταν ιδιαίτερα συνετό από μέρους σου να μην κρίνεις με τόση ευκολία. Όπως δεν έκρινα και εγώ κανέναν ως άνθρωπο εδώ μέσα.

Καλώς, ανακαλώ το σημείο αυτό.