Αριθμητική πρόοδος (Δ.11)

#1

Η ακολουθία (a_n)

είναι τέτοια ώστε

$\displaystyle{|a_{m+n}-a_{m}-a_{n}|<\frac{1}{m+n},}$ για όλους τους θετικούς ακεραίους m,n.

Να δείξετε ότι είναι αριθμητική πρόοδος.

nikoszan · #2

... $\left| {{a_{m + n}} - {a_m} - {a_n}} \right| < \frac{1}{{m + n}}:\left( 1 \right)$ .
Από την $\left( 1 \right)$ προκύπτει ότι για κάθε $n \in {N^*}$ ισχύει $\mathop {\lim }\limits_{m \to + \infty } \left( {{a_{m + n}} - {a_m} - {a_n}} \right) = 0$ ,οπότε έχουμε $\mathop {\lim }\limits_{m \to + \infty } \left( {{a_{m + n}} - {a_m}} \right) = {a_n}:\left( 2 \right)$ .
Εχουμε όμως $\mathop {\lim }\limits_{m \to + \infty } \left( {{a_{m + 1}} - {a_m}} \right) = {a_1}$ ( για n = 1

),οπότε ισχύουν ακόμη

$\mathop {\lim }\limits_{m \to + \infty } \left( {{a_{m + 2}} - {a_{m + 1}}} \right) = {a_1}$

$\mathop {\lim }\limits_{m \to + \infty } \left( {{a_{m + n}} - {a_{m + n - 1}}} \right) = {a_1}$ .
Ετσι έχουμε
${a_n} = \mathop {\lim }\limits_{m \to + \infty } \left( {{a_{m + n}} - {a_m}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{m \to + \infty } \left[ {\left( {{a_{m + n}} - {a_{m + n - 1}}} \right) + \left( {{a_{m + n - 1}} - {a_{m + n - 2}}} \right) + ... + \left( {{a_{m + 2}} - {a_{m + 1}}} \right) + \left( {{a_{m + 1}} - {a_m}} \right)} \right] =$ ${a_1} + {a_1} + ... + {a_1} + {a_1} = n{a_1},\forall n \in {N^*}$
Επομένως για κάθε $n \in {N^*}$ ισχύει ${a_{n + 1}} = \left( {n + 1} \right){a_1} = n{a_1} + {a_1} = {a_n} + {a_1}$ .Αρα η ακολουθία $\left\{ {{a_n}} \right\}$ είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά ${a_1}$ .
Ν.Ζ.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=490242

Αριθμητική πρόοδος (Δ.11)

Αριθμητική πρόοδος (Δ.11)

Re: Αριθμητική πρόοδος

Re: Αριθμητική πρόοδος

Μέλη σε σύνδεση