Ανάλυση,Θεωρητική - Όχι για μαθητές

Συντονιστής: emouroukos

Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5357
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Ανάλυση,Θεωρητική - Όχι για μαθητές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Δευ Ιαν 26, 2009 12:24 pm

Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο IR και έχει σύνολο τιμών το IR , τότε η f είναι συνεχής.

Σχόλιο

Μπορεί άραγε να βρεθεί λύση που να εμπίπτει της σχολικής ύλης για αυτό το πρόβλημα ; Μου είπε ένας μαθητής ότι έκανε λύση, αλλά δεν τον ρώτησα πώς την έλυσε και σε τι βασίστηκε. Ακόμα όμως και η χρήση της άρνησης του ορισμού της συνέχειας είναι δύσκολη υπόθεση!


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2180
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Ανάλυση,Θεωρητική - Όχι για μαθητές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Δευ Ιαν 26, 2009 12:37 pm

Μπάμπη
είναι η σχέση 73 σελίδα 18 στο
download/file.php?id=402


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Ανάλυση,Θεωρητική - Όχι για μαθητές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Ιαν 26, 2009 12:48 pm

Mπάμπη αυτήν την άσκηση την ξέρω με διάστημα,δηλαδή αν η f γνησίως μονότονη σε διάστημα [α,β]
αλλά και f([α,β])=[γ,δ] τότε να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο [α,β].
Εσύ δίνεις πάρα πολύ γήπεδο,το R,οπότε λέω να παίξω λίγη μπαλίτσα...
Xωρίς βλάβη της γενικότητας,υποθέτω πως f γνήσια αύξουσα στο R.
Έστω τυχαίο χ0 του R.Αφού το σύνολο τιμών είναι το R,θα υπάρχει ψ0 στο R,τέτοιο ώστε:
ψ1<ψ0<ψ2 όπου ψ1,ψ2 τυχαία σημεία του R και ψ0=f(x0).Έστω ε>0,αρκούντως μικρό τέτοιο ώστε:
ψ1<ψ0-ε<ψ0<ψ0+ε<ψ2.Απο την υπόθεση έχουμε πως υπάρχουν χ1,χ2 στο R ώστε f(x1)=ψ0-ε,f(x2)=ψ0+ε (1).
Τώρα για κάθε χ στο(χ1,χ2) έχουμε χ1<χ<χ2=> f(x1)<f(x)<f(x2) (2) απο τη μονοτονία της f .
Η σχέση (2) λόγω της (1) γίνεται: ψ0-ε<f(x)<ψ0+ε, ή καλύτερα
-ε<f(x)-ψ0<ε ή -ε<f(x)-f(x0)<ε ή |f(x)-f(x0)|<ε .Τούτο σημαίνει πως η f είναι συνεχής στο τυχαίο χ0 του R
αρα και σε όλο το R.
Με όμοιο τρόπο αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R.
καλημέρα σε όλους!


Χρήστος Κυριαζής
k-ser
Δημοσιεύσεις: 870
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 10:22 am
Τοποθεσία: Μουζάκι Καρδίτσας
Επικοινωνία:

Re: Ανάλυση,Θεωρητική - Όχι για μαθητές

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από k-ser » Τετ Ιαν 28, 2009 10:32 pm

Μπάμπη,
είχαμε συζητήσει ξανά το θέμα στο pathfinder.

Στο συνημμένο αρχείο, μια απάντησή μου για συνάρτηση γνησίως μονότονη σε διάστημα με σύνολο τιμών διάστημα.
Αν θυμάμαι καλά, είχα παιδευτεί αρκετά για μια "σχολική απάντηση" μα....
39_ Συνέχεια γνησίως μονότονης_kser.pdf

Να συμπληρώσω κάτι, για να μην αδικήσω την πολύ καλή προσέγγιση του Χρήστου:
Χρήστο, πολύ καλή η απόδειξή σου. Έχω την εντύπωση ότι τα ψ1, ψ2 δεν σου χρειάζονται!


Κώστας Σερίφης
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1248
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Ανάλυση,Θεωρητική - Όχι για μαθητές

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Πέμ Ιαν 29, 2009 11:35 pm

Δεν έχω δει τις παραπάνω λύσεις οπότε συγχωρέστε με αν είναι ίδια .


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Ανάλυση,Θεωρητική - Όχι για μαθητές

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Παρ Ιαν 30, 2009 1:48 pm

Kώστα μολις είδα το σχόλιο σου...Ναι έχεις δίκιο,αλλά τα έβαλα για να ''μαντρώσω'' πιο εύκολα,τις τιμές της f..
Διπλή προστασία!


Χρήστος Κυριαζής
Ilias_Zad
Δημοσιεύσεις: 418
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 11:44 pm

Re: Ανάλυση,Θεωρητική - Όχι για μαθητές

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ilias_Zad » Σάβ Φεβ 07, 2009 1:14 am

μιας και υποψιαζομαι οτι ο Κυριος Στεργιου εννοει την κουβεντα που ειχαμε σε αλλο φορουμ περι αυτης της προτασης να βαλω και εγω την λυση που ειχα βρει.
Χρησιμοποιω οπως ολοι τον επσιλοτικο ορισμο.
Αρκεί για κάθε e>0 να βρούμε d>0 τέτοιο ώστε , για κάθε xπραγματικο και x_0 πραγματικο , να ισχυει:
αν x_0 - d< x < x_0+d τότε f(x_0)-e< f(x) < f(x_0)+e
έστω f γνησίως αύξουσα (για γν. φθινουσα λειτουργουμε ακριβως ομοια)

τότε ισχύει:

f(x_0) -e < f(x_0) < f(x_0)+e
\leftrightarrow f^{-1}(f(x_0) -e) < x_0 < f^{-1}(f(x_0)+e)
ορίζω σαν
d= min \{ x_0 -  f^{-1}(f(x_0) -e), f^{-1}(f(x_0)+e) - x_0 \}

ο ορισμός αυτός απαιτεί ,αφού οι τιμές ( f(x_0) -e  ,f(x_0)+e ) τις οποίες παίρνει η αντίστροφη, διατρέχουν όλο το R (θυμίζω ότι το e διατρέχει όλο το (0,+infinite) )
το σύνολο τιμών της να είναι το R ,συνθήκη που καλύπτεται από τα δεδομένα.
εύκολα βλέπουμε d>0

άρα από τον ορισμό του d έχουμε

f^{-1}(f(x_0) -e) \leq x_0 - d
και
x_0 + d \leq f^{-1}(f(x_0)+e)

επομένως παίρνουμε ότι

αν,
x_0 - d< x < x_0+d

τότε
f^{-1}(f(x_0) -e) < x < f^{-1}(f(x_0)+e) \leftrightarrow f(x_0) - e < f(x) < f(x_0) + e
, που είναι ακρβώς το ζητούμενο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης