Να αποδείξετε ότι :

christodoulou · #1

Να αποδείξετε ότι κάθε θετικός πραγματικός αριθμός α έχει μία ακριβώς θετική νιοστή ρίζα.

#2

Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση f με :
$\displaystyle{ f(x) = x^n - a,x \ge 0 }$
και n φυσικό, τότε η f συνεχής στο [0,+00) , ως πολυωνυμική.
Είναι: f(0)=-α < 0 καθώς και $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty }$
αρα, λόγω της συνέχειας της f , μπορεί να βρεθεί κ>0 , κοντά στο +00, ώστε f(κ)>0.
Αν εφαρμόσουμε το Θ.Βolzano στο [0,κ], θα υπάρχει τουλάχιστον ένας ξ στο (0,κ) με f(ξ)=0.
Όμως
$\displaystyle{ f{'} (x) = nx^{n - 1} > 0,\forall x > 0 }$
δηλαδή η f, είναι γν.αύξουσα στο [0,+00), συνεπώς η ρίζα ξ είναι μοναδική.

#3

Αν, για κάποιους λόγους, θέλουμε να αποφύγουμε το όριο (αν και καλό είναι να συνηθίζουν τα παιδιά και αυτή την μορφή εφαρμογής του Θεωρήματος Bolzano) στην λύση του Χρήστου μπορούμε να πάρουμε f(a+1) = (a+1)^n - a>0

ζητώντας από το παιδιά να τεκμηριώσουν το

.
Μαυρογιάννης

Να αποδείξετε ότι :

Να αποδείξετε ότι :

Re: Να αποδείξετε ότι :

Re: Να αποδείξετε ότι :

Μέλη σε σύνδεση