Να αποδείξετε ότι :

Συντονιστής: emouroukos

christodoulou
Δημοσιεύσεις: 87
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 15, 2009 6:33 pm

Να αποδείξετε ότι :

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από christodoulou » Κυρ Νοέμ 08, 2009 11:56 am

Να αποδείξετε ότι κάθε θετικός πραγματικός αριθμός α έχει μία ακριβώς θετική νιοστή ρίζα.


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6823
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Να αποδείξετε ότι :

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Κυρ Νοέμ 08, 2009 12:07 pm

Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση f με :
\displaystyle{ 
f(x) = x^n  - a,x \ge 0 
}
και n φυσικό, τότε η f συνεχής στο [0,+00) , ως πολυωνυμική.
Είναι: f(0)=-α < 0 καθώς και \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) =  + \infty  
}
αρα, λόγω της συνέχειας της f , μπορεί να βρεθεί κ>0 , κοντά στο +00, ώστε f(κ)>0.
Αν εφαρμόσουμε το Θ.Βolzano στο [0,κ], θα υπάρχει τουλάχιστον ένας ξ στο (0,κ) με f(ξ)=0.
Όμως
\displaystyle{ 
f{'} (x) = nx^{n - 1}  > 0,\forall x > 0 
}
δηλαδή η f, είναι γν.αύξουσα στο [0,+00), συνεπώς η ρίζα ξ είναι μοναδική.


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Να αποδείξετε ότι :

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Κυρ Νοέμ 08, 2009 12:26 pm

Αν, για κάποιους λόγους, θέλουμε να αποφύγουμε το όριο (αν και καλό είναι να συνηθίζουν τα παιδιά και αυτή την μορφή εφαρμογής του Θεωρήματος Bolzano) στην λύση του Χρήστου μπορούμε να πάρουμε f(a+1) = (a+1)^n  - a>0 ζητώντας από το παιδιά να τεκμηριώσουν το >0.
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες