Απλη εκφωνηση...

Συντονιστής: emouroukos

gemar99
Δημοσιεύσεις: 9
Εγγραφή: Δευ Μάιος 11, 2009 6:32 pm

Απλη εκφωνηση...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gemar99 » Δευ Νοέμ 09, 2009 1:08 pm

Καμμία συνεχής συνάρτηση στο R δεν μπορεί να παρει δύο φορές την ίδια τιμή για καθε xεR.


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2178
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Απλη εκφωνηση...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Δευ Νοέμ 09, 2009 2:04 pm

Περιληπτική υπόδειξη

Αν η φ έχει ολικό ΜΙΝ σε 2 ακριβώς θέσεις τότε πάρε 3 διαστήματα δυο εκ των οποίων θα περιέχουν τα ολικά ΜΙΝ . Μετά με θεώρημα ενδιαμέσων τιμών καταλήγεις σε άτοπο

Το ίδιο γιά ολικό ΜΑΧ

Αν δεν έχει ολικά ακρότατα ούτε και τοπικά δείξε ότι είναι γνήσια μονότονη

Αν έχει μόνο τοπικά δείξε ότι μετά από ένα ΜΙΝ θα ακολουθεί ΜΑΧ μέσω μονοτονίας οπότε πάλι Θ. ενδιαμέσων τιμών Αν έχει μόνο ένα τοπικό δείξε ότι είναι ολικό και καταλήγεις πάλι σε αντίφαση


Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Απλη εκφωνηση...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Νοέμ 09, 2009 2:34 pm

gemar99 έγραψε:Καμμία συνεχής συνάρτηση στο R δεν μπορεί να παρει δύο φορές την ίδια τιμή για καθε xεR.
Υποθέτω ότι εννοείς
Καμμία συνεχής συνάρτηση στο R δεν μπορεί να παρει κάθε τιμή της ακριβώς δύο φορές. ;;;


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
gemar99
Δημοσιεύσεις: 9
Εγγραφή: Δευ Μάιος 11, 2009 6:32 pm

διορθωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gemar99 » Δευ Νοέμ 09, 2009 2:37 pm

Καμμία συνεχής συνάρτηση στο R δεν μπορεί να παρει κάθε τιμή της ακριβώς δύο φορές.

Eυχαριστώ mathxl


Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Απλη εκφωνηση...

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Νοέμ 09, 2009 2:41 pm

Την άσκηση αυτή την είχε θέση ο mathada στο παλιό μαθεμάτικα πριν ένα χρόνο και είχα απαντήσει όπως στο παρακάτω συννημένο. Η απάντηση αν θυμάμαι καλά είχε θεωρηθεί λανθασμένη, ωστόσο ανεβάζω την "τότε" απάντηση, χωρίς να την έχω επεξεργαστεί ξανά. Παρακαλώ να μου υποδείξετε το λάθος μου, αν υπάρχει :)
Συνημμένα
aUiococ aea mathada.pdf
(58.58 KiB) Μεταφορτώθηκε 89 φορές


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8261
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Απλη εκφωνηση...

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Νοέμ 09, 2009 3:54 pm

mathxl έγραψε:Την άσκηση αυτή την είχε θέση ο mathada στο παλιό μαθεμάτικα πριν ένα χρόνο και είχα απαντήσει όπως στο παρακάτω συννημένο. Η απάντηση αν θυμάμαι καλά είχε θεωρηθεί λανθασμένη, ωστόσο ανεβάζω την "τότε" απάντηση, χωρίς να την έχω επεξεργαστεί ξανά. Παρακαλώ να μου υποδείξετε το λάθος μου, αν υπάρχει :)
Βασίλη το μόνο λάθος που βλέπω είναι η εξίσωση φ(χ) = 0 μπορεί να μην έχει καμία λύση. Αυτό όμως διορθώνεται εύκολα. Π.χ. μπορούμε να δουλέψουμε με την συνάρτηση γ(χ) = φ(χ) - φ(0). Άλλο λάθος δεν έχω παρατηρήσει. (Αν εξαιρέσουμε βέβαια τα χβγ κ.τ.λ για τα οποία θα φωνάζει ο Αντώνης και ίσως κάποια σημεία που μπορεί κάποιος να θέλει περισσότερη δικαιολόγηση.)


Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Απλη εκφωνηση...

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Δευ Νοέμ 09, 2009 4:09 pm

Καλησπέρα!

Για να παει λίγο μακρύτερα η βαλίτσα..:

1) Βρείτε μια συνεχή συνάρτηση f που να παίρνει κάθε τιμή ακριβώς 3 φορές.

2) Βρείτε μια συνεχή συνάρτηση f που να παίρνει κάθε τιμή ακριβώς n φορές όπου n περιττός.

3) Ας δειχθεί ότι, αν ο n είναι άρτιος, τότε δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση f που να παίρνει κάθε τιμή ακριβώς n φορές.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Απλη εκφωνηση...

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Νοέμ 09, 2009 9:01 pm

[quote="Demetres"]

Βασίλη το μόνο λάθος που βλέπω είναι η εξίσωση φ(χ) = 0 μπορεί να μην έχει καμία λύση.
Σωστά, με μια δεύτερη ματιά μετά από ένα χρόνο έίναι εμφανές το λάθος.
Αυτό όμως διορθώνεται εύκολα. Π.χ. μπορούμε να δουλέψουμε με την συνάρτηση γ(χ) = φ(χ) - φ(0). Oh yes :) quote]


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11536
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Απλη εκφωνηση...

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Νοέμ 09, 2009 9:32 pm

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Καλησπέρα!

Για να παει λίγο μακρύτερα η βαλίτσα..:

1) Βρείτε μια συνεχή συνάρτηση f που να παίρνει κάθε τιμή ακριβώς 3 φορές.

2) Βρείτε μια συνεχή συνάρτηση f που να παίρνει κάθε τιμή ακριβώς n φορές όπου n περιττός.

3) Ας δειχθεί ότι, αν ο n είναι άρτιος, τότε δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση f που να παίρνει κάθε τιμή ακριβώς n φορές.
Επισυνάπτω συνεχή συνάρτηση που παίρνει κάθε τιμή ακριβώς 3 φορές και άλλη μία που να παίρνει κάθε τιμή ακριβώς 5 φορές. Ανάλογα ζωγραφίζουμε μία με 7, 9, ... φορές κάθε τιμή. Για 2, 4, 6, ... η κατασκευή είναι αδύνατη (η απόδειξη είναι παραλλαγή της παραπάνω για n = 2).

Φιλικά

Μιχάλης Λάμπρου

Υ.Γ.

Αν θυμάμαι καλά, είχα ξαναζωγραφίσει τέτοια f στο παλιό mathematica.
Συνημμένα
3 kai 5 fores.doc
(104 KiB) Μεταφορτώθηκε 111 φορές


Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Απλη εκφωνηση...

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Δευ Νοέμ 09, 2009 11:35 pm

Δάσκαλε να είσαι καλά! Με έβγαλες από τον κόπο της ζωγραφικής :P

Μια συνεχής συνάρτηση που παίρνει κάθε τιμή της ακριβώς n φορές, όπου n περιττός, αν δεν έχω κάνει κανένα λάθος, ορίζεται ως εξής:

Θέτουμε \displaystyle g:\Big[0,\frac{n}{2}\Big]\to\mathbb{R} με g(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 
 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x\in\Big[0,\frac{1}{2}\Big] \\ \\ 
(-1)^{j}2(x-j),\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x\in\Big[\frac{j}{2},\frac{(j+1)}{2}\Big]\\ \\ 
(-1)^{j+1}2(x-j),\,\,\,\,\, x\in\Big[\frac{(j+1)}{2},\frac{(j+2)}{2}\Big] 
 \end{array} \right. \qquad j=1,\ldots,n-2

και ακολούθως ορίζουμε τη ζητούμενη f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} θέτοντας

\displaystyle f(x):=g\Big(x-i\frac{n}{2}\Big)+i για κάθε \displaystyle x\in\Big[i\frac{n}{2},(i+1)\frac{n}{2}\Big] με i\in\mathbb{Z}.

Παρατήρηση
Το γράφημά τσι είναι αυτό που φαίνεται στο αρχείο του Μιχάλη. Είναι πριονωτή στο διάστημα \displaystyle\Big[0,\frac{n}{2}\Big], περιττή, και στο διάστημα \displaystyle\Big[i\frac{n}{2},(i+1)\frac{n}{2}\Big] έχουμε ένα αντίγραφο του γραφήματος στο \displaystyle\Big[0,\frac{n}{2}\Big] μετατοπισμένο κατά i προς τα πάνω ή κάτω αντίστοιχα, ανάλογα με το αν i>0 ή i<0.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
Jeronymo Simonstone
Δημοσιεύσεις: 89
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 09, 2009 8:52 pm

Re: Απλη εκφωνηση...

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Jeronymo Simonstone » Τρί Νοέμ 10, 2009 2:12 am

Ας δειχθεί ότι, αν ο n είναι άρτιος, τότε δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση f που να παίρνει κάθε τιμή ακριβώς n φορές.

Nα το προσπαθήσω για n=2... :ugeek:

Θεωρούμε δηλαδή πως υπάρχει μια πραγματική συνεχής συνάρτηση f που παίρνει κάθε τιμή της ακριβώς δύο φορές.
Έστωσαν δύο διαφορετικά σημεία x,y τέτοια ώστε z=f(x)=f(y).

Λόγω της συνεχείας και της υπόθεσης ότι δεν μπορεί τρίτο σημείο να απεικονιστεί στο z, υπάρχουν δύο διαστήματα Χ και Υ περί τα x,y αντίστοιχα τέτοια ώστε η f να είναι 1-1 επί καθενός. Έστω Ζ η τομή των εικόνων των δυο διαστημάτων.

Η f είναι 1-1 στα διαστήματα Χ, Υ άρα εκεί υπάρχει η αντίστροφός της. Επειδή η f είναι και συνεχής, ξέρουμε από τον απειροστικό λογισμό πως θα είναι μονότονη. Η μονοτονία και η συνέχεια, απο ένα άλλο γνωστό αποτέλεσμα του απειροστικού λογισμού, μας εγγυώνται ότι και η αντίστροφη θα είναι συνεχής συνάρτηση.

Οπότε, αν περιοριστούμε στην ένωση των συνολων Χ και Y-{y}, η f είναι ένας ομοιομορφισμός του συνόλου αυτού επί του διαστήματος Ζ. Αυτό όμως είναι άτοπο καθώς το πεδίο ορισμού δεν είναι διάστημα.


\int_{f(x)}^{dx}ab+\frac{1}{k^2}\sum_{k=+\infty}^{1}\frac{1}{\pi^2}=\frac{9}{69}+F(b)- \underbrace{(-( -...-F(a)))}_{2n+1 \ fores}, \ \forall \mathbb{N}\in n
Άβαταρ μέλους
nkatsipis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 758
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 10:26 am
Τοποθεσία: Σαντορίνη
Επικοινωνία:

Re: Απλη εκφωνηση...

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nkatsipis » Τρί Νοέμ 10, 2009 9:34 am

Καλημέρα,

δείτε την άσκηση 20 κεφάλαιο 6ο στο Διαφορικό και Ολοκληρωτικό Λογισμό, Michael Spivak.
Παρουσάζονται όλα με την σειρά και με τις απαραίτητες υποδείξεις.

Νίκος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης