Μία ανισότητα με συνημίτονα
Συντονιστής: emouroukos
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4454
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Μία ανισότητα με συνημίτονα
Έστω ακέραιος . Ισχύει άραγε
για όλα τα ;
Δεν έχω επί του παρόντος απάντηση και γιαυτό δεν ξέρω αν είναι στον κατάλληλο φάκελο.
Για την προέλευση θα αναφερθώ αργότερα.
Μαυρογιάννης
για όλα τα ;
Δεν έχω επί του παρόντος απάντηση και γιαυτό δεν ξέρω αν είναι στον κατάλληλο φάκελο.
Για την προέλευση θα αναφερθώ αργότερα.
Μαυρογιάννης
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Μία ανισότητα με συνημίτονα
Όλα δείχνουν ότι ισχύει (και μάλιστα για πραγματικό μεγαλύτερο ή ίσο του ), αλλά η απόδειξη -- που δεν έχω -- δεν θα είναι εύκολη ... όπως δείχνουν οι παρακάτω σκέψεις:
Η ζητούμενη ανισότητα γράφεται και ως , οπότε, τριωνυμικώς σκεπτόμενοι, βλέπουμε ότι η ανισότητα ισχύει στην περίπτωση που η διακρίνουσα είναι μη θετική, δηλαδή , και επίσης στις περιπτώσεις και , όπου
,
Κρατώντας σταθερό το x και μεταβάλλοντας το m βλέπουμε ότι άλλοτε ισχύει η και άλλοτε η : στο συνημμένο γράφημα των δύο συναρτήσεων για και φαίνονται καθαρά (πάνω γράφημα) τα διαστήματα ισχύος της πρώτης και τα διαστήματα ισχύος της δεύτερης, όπως επίσης και τα διαστήματα (κάτω γράφημα) όπου η διακρίνουσα είναι αρνητική (και τα φανταστικά μέρη των και μη μηδενικά). (Αυτές οι 'εναλλαγές' είναι κατά την γνώμη μου τεκμήριο δυσκολίας για την ζητούμενη απόδειξη ... ενώ για αντιπαράδειγμα χρειαζόμαστε αρνητικό μπλε και θετικό κόκκινο στο πάνω γράφημα!)
Γιώργος Μπαλόγλου
Η ζητούμενη ανισότητα γράφεται και ως , οπότε, τριωνυμικώς σκεπτόμενοι, βλέπουμε ότι η ανισότητα ισχύει στην περίπτωση που η διακρίνουσα είναι μη θετική, δηλαδή , και επίσης στις περιπτώσεις και , όπου
,
Κρατώντας σταθερό το x και μεταβάλλοντας το m βλέπουμε ότι άλλοτε ισχύει η και άλλοτε η : στο συνημμένο γράφημα των δύο συναρτήσεων για και φαίνονται καθαρά (πάνω γράφημα) τα διαστήματα ισχύος της πρώτης και τα διαστήματα ισχύος της δεύτερης, όπως επίσης και τα διαστήματα (κάτω γράφημα) όπου η διακρίνουσα είναι αρνητική (και τα φανταστικά μέρη των και μη μηδενικά). (Αυτές οι 'εναλλαγές' είναι κατά την γνώμη μου τεκμήριο δυσκολίας για την ζητούμενη απόδειξη ... ενώ για αντιπαράδειγμα χρειαζόμαστε αρνητικό μπλε και θετικό κόκκινο στο πάνω γράφημα!)
Γιώργος Μπαλόγλου
- Συνημμένα
-
- crazycos.gif (21.92 KiB) Προβλήθηκε 1352 φορές
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: Μία ανισότητα με συνημίτονα
μια λύση
Η ιδέα είναι : τα τριγωνομετρικά σε μιγαδικούς, τους μιγαδικούς σε πολυώνυμα κι αυτά με παραγώγους
διαιρώ με και χρησιμοποιώ την :
θέτοντας επειδή η αποδεικτέα γίνεται
ξαναθέτω
οπου το πηλίκο της διαίρεσης δηλαδή το
που όπως είναι γνωστό έχει θετικούς συντελεστές
διότι γράφεται σαν άθροισμα ορων της μορφ'ηςΛΑΘΟΣ
Αφού θα είναι και συνεπώς
συγνώμη
ευχαριστώ για τις παρατηρήσεις τους τον Νίκο και τον Γιώργο και σκέφτομαι μήπως μπορεί να βοηθήσει η ανισότητα
Η ιδέα είναι : τα τριγωνομετρικά σε μιγαδικούς, τους μιγαδικούς σε πολυώνυμα κι αυτά με παραγώγους
διαιρώ με και χρησιμοποιώ την :
θέτοντας επειδή η αποδεικτέα γίνεται
ξαναθέτω
οπου το πηλίκο της διαίρεσης δηλαδή το
που όπως είναι γνωστό έχει θετικούς συντελεστές
διότι γράφεται σαν άθροισμα ορων της μορφ'ηςΛΑΘΟΣ
Αφού θα είναι και συνεπώς
συγνώμη
ευχαριστώ για τις παρατηρήσεις τους τον Νίκο και τον Γιώργο και σκέφτομαι μήπως μπορεί να βοηθήσει η ανισότητα
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Μία ανισότητα με συνημίτονα
Ας αναφέρω εδώ, συντομότατα και ημιτελέστατα, ότι με χρήση επαγωγής και κλειστού τύπου* για τα πολυώνυμα Chebyshev ... προκύπτει ότι αρκεί να δειχθεί, για , η παρακάτω ανισότητα (που δεν γνωρίζω αν και γιατί αληθεύει):
Για , , η παραπάνω ανισότητα ανάγεται στις ισχύουσες, για ,
* με
ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ 20-12-13: διόρθωσα την ανισότητα για και πρόσθεσα την ανισότητα για
Γιώργος Μπαλόγλου
Για , , η παραπάνω ανισότητα ανάγεται στις ισχύουσες, για ,
* με
ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ 20-12-13: διόρθωσα την ανισότητα για και πρόσθεσα την ανισότητα για
Γιώργος Μπαλόγλου
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Μία ανισότητα με συνημίτονα
Η επαγωγή μάλλον δεν βοηθάει στο πρόβλημα αυτό. Προτιμώ, ημιτελώς και πάλι, να επεξεργαστώ την αρχική ανισότητα του Νίκου χρησιμοποιώντας την παραπάνω έκφραση για το (που βρήκα εδώ)^ παραγοντοποιώντας και διαιρώντας με , όπου , η ανισότητα γράφεται ως
Όλα δείχνουν ότι η ανισότητα αυτή ισχύει για , χωρίς μάλιστα να είναι ιδιαίτερα σφιχτή. Ευελπιστώ να επανέλθω, αν δεν αποτελειώσει την απόδειξη κάποιος άλλος. Προς το παρόν παραθέτω τις προκύπτουσες ανισότητες για , , :
[H τρίτη ανισότητα προκύπτει από αρνητική διακρίνουσα στο (διπλή χρήση).]
Γιώργος Μπαλόγλου
Όλα δείχνουν ότι η ανισότητα αυτή ισχύει για , χωρίς μάλιστα να είναι ιδιαίτερα σφιχτή. Ευελπιστώ να επανέλθω, αν δεν αποτελειώσει την απόδειξη κάποιος άλλος. Προς το παρόν παραθέτω τις προκύπτουσες ανισότητες για , , :
[H τρίτη ανισότητα προκύπτει από αρνητική διακρίνουσα στο (διπλή χρήση).]
Γιώργος Μπαλόγλου
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4454
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Μία ανισότητα με συνημίτονα
Χαιρετώ όλους τους φίλους
Γιώργο
Δοκιμάζοντας, ανεπιτυχώς, διάφορα προσέκρουσα στην πολυπλοκότητα του αναπτύγματος του . Για τις συνήθεις τεχνικές του τύπου να μεταφερθούν όλα στο α΄μέλος και να μελετηθεί η συνάρτηση ούτε λόγος.
Επίσης δεν δούλεψε κάποιο είδος επαγωγής με χρήση του αναγωγικού τύπου
Τελικά μου φάνηκε και μένα ότι η προσφυγή στα πολυώνυμα Chebyshev ήταν η πιο πρόσφορη αντιμετώπιση. Έμμεσα αυτό υποδεικνύει και η προσπάθεια του Ροδόλφου.
Είχα καταλήξει ότι αρκεί να δειχθεί ότι
για
δηλαδή ότι
για
αλλά δεν μπόρεσα να προχωρήσω πιο κάτω. Ούτε και με την ανηγμένη μορφή
.
Αισιοδοξώ ότι θα δούμε κάποια απόδειξη.
Μαυρογιάννης
Γιώργο
Δοκιμάζοντας, ανεπιτυχώς, διάφορα προσέκρουσα στην πολυπλοκότητα του αναπτύγματος του . Για τις συνήθεις τεχνικές του τύπου να μεταφερθούν όλα στο α΄μέλος και να μελετηθεί η συνάρτηση ούτε λόγος.
Επίσης δεν δούλεψε κάποιο είδος επαγωγής με χρήση του αναγωγικού τύπου
Τελικά μου φάνηκε και μένα ότι η προσφυγή στα πολυώνυμα Chebyshev ήταν η πιο πρόσφορη αντιμετώπιση. Έμμεσα αυτό υποδεικνύει και η προσπάθεια του Ροδόλφου.
Είχα καταλήξει ότι αρκεί να δειχθεί ότι
για
δηλαδή ότι
για
αλλά δεν μπόρεσα να προχωρήσω πιο κάτω. Ούτε και με την ανηγμένη μορφή
.
Αισιοδοξώ ότι θα δούμε κάποια απόδειξη.
Μαυρογιάννης
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Μία ανισότητα με συνημίτονα
Συνεχίζω, χωρίς να εμβαθύνω, με τις επόμενες τρεις ανισότητες ():gbaloglou έγραψε:Η επαγωγή μάλλον δεν βοηθάει στο πρόβλημα αυτό. Προτιμώ, ημιτελώς και πάλι, να επεξεργαστώ την αρχική ανισότητα του Νίκου χρησιμοποιώντας την παραπάνω έκφραση για το (που βρήκα εδώ)^ παραγοντοποιώντας και διαιρώντας με , όπου , η ανισότητα γράφεται ως
Όλα δείχνουν ότι η ανισότητα αυτή ισχύει για , χωρίς μάλιστα να είναι ιδιαίτερα σφιχτή. Ευελπιστώ να επανέλθω, αν δεν αποτελειώσει την απόδειξη κάποιος άλλος. Προς το παρόν παραθέτω τις προκύπτουσες ανισότητες για , , :
[H τρίτη ανισότητα προκύπτει από αρνητική διακρίνουσα στο (διπλή χρήση).]
Γιώργος Μπαλόγλου
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Μία ανισότητα με συνημίτονα
Φαίνεται αρχικά ότι η περίπτωση ΔΕΝ μπορεί να αποδειχθεί όπως η περίπτωση , παρατηρώντας δηλαδή ότι η διακρίνουσα του είναι αρνητική ... πολύ απλά επειδή ΔΕΝ είναι αρνητική, καθώς . Μπορούμε όμως να κάνουμε το εξής: παρατηρώντας ότι αν έχουμε τελειώσει, υποθέτουμε , οπότε , και αρκεί πλέον να είναι αρνητική η διακρίνουσα του , κάτι που ισχύει λόγω της .gbaloglou έγραψε: ↑Τετ Δεκ 25, 2013 12:54 pmΣυνεχίζω, χωρίς να εμβαθύνω, με τις επόμενες τρεις ανισότητες ():gbaloglou έγραψε:Η επαγωγή μάλλον δεν βοηθάει στο πρόβλημα αυτό. Προτιμώ, ημιτελώς και πάλι, να επεξεργαστώ την αρχική ανισότητα του Νίκου χρησιμοποιώντας την παραπάνω έκφραση για το (που βρήκα εδώ)^ παραγοντοποιώντας και διαιρώντας με , όπου , η ανισότητα γράφεται ως
Όλα δείχνουν ότι η ανισότητα αυτή ισχύει για , χωρίς μάλιστα να είναι ιδιαίτερα σφιχτή. Ευελπιστώ να επανέλθω, αν δεν αποτελειώσει την απόδειξη κάποιος άλλος. Προς το παρόν παραθέτω τις προκύπτουσες ανισότητες για , , :
[H τρίτη ανισότητα προκύπτει από αρνητική διακρίνουσα στο (διπλή χρήση).]
Αναλόγως η περίπτωση ανάγεται στην , ενώ η περίπτωση , αναγόμενη στις και , απαιτεί την .
Τα παραπάνω δημιουργούν ελπίδες επέκτασης του παραπάνω τεχνάσματος και απόδειξης της γενικής ανισότητας
κάτι που ελπίζω να προσπαθήσω τις επόμενες μέρες.
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Μία ανισότητα με συνημίτονα
Για να γελάσουμε και λίγο ... η περίπτωση ανάγεται στις
και
με την τελευταία να προκύπτει τριωνυμικά από τις και .
[Εκεί δηλαδή που αυτό το φάνηκε να καταστρέφει την στρατηγική μου ... προέκυψαν σωτήριες εξελίξεις σε άλλο μέτωπο! ]
και
με την τελευταία να προκύπτει τριωνυμικά από τις και .
[Εκεί δηλαδή που αυτό το φάνηκε να καταστρέφει την στρατηγική μου ... προέκυψαν σωτήριες εξελίξεις σε άλλο μέτωπο! ]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες