Εύρεση συνάρτησης

Συντονιστής: emouroukos

Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5354
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Εύρεση συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τρί Δεκ 08, 2009 10:24 am

Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} με την ιδιότητα :

f(x)f(y)=f(\sqrt{x^2+y^2})  , (\forall ) x,y\in \mathbb{R}


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2178
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τρί Δεκ 08, 2009 12:56 pm

Αν f σταθερή τότε \displaystyle{f(x)=1} ή \displaystyle{f(x)=0} για κάθε \displaystyle{x} στο \displaystyle{R}

Αν \displaystyle{f} όχι σταθερή τότε \displaystyle{f} άρτια αφού \displaystyle{f(x)f(y)=f(-x)f(y)} οπότε για \displaystyle{y=a} με \displaystyle{f(a)\ne 0} είναι \displaystyle{f(x)=f(-x)}

αρκεί να μελετηθεί για \displaystyle{x\ge 0} (συμμετρική ως προς y'y)
Εύκολα \displaystyle{f(0)=0} ή \displaystyle{ f(0)=1}

Eαν \displaystyle{f(0)=0,0=f(x)f(0)=f(|x|)=f(x)} για κάθε χ στο R

Eαν \displaystyle{f(0)=1} τότε \displaystyle{f(x)=f(|x|)=f(\sqrt{x^2})} οπότε θέτοντας \displaystyle{g(x)=f(\sqrt{x})} η αρχική σχέση γίνεται για \displaystyle{x\ge 0 , g(x^2)g(y^2)=g(x^2+y^2)\Rightarrow g(x)g(y)=g(x+y)} απο οπου προκύπτει ότι αν g ειχε ρίζα θα ήταν η μηδενική (τετριμμένο) και για \displaystyle{x=y=t/2 , g(t)=g^2(t/2)>0}

Θέτουμε \displaystyle{h(x)=lng(x)} πότε παίρνουμε \displaystyle{h(x+y)=h(x)+h(y) (Cauchy)} που έχει συνεχείς λύσεις τις \displaystyle{h(x)=ax \Rightarrow g(x)=e^{ax}\Rightarrow f(x)=e^{ax^2}}


Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση συνάρτησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Τρί Δεκ 08, 2009 1:47 pm

Θα σας μαλώσω κύριε Μπάμπη, έχουμε ανοίξει ένα φάκελο που τοποθετούμε όλες τις συναρτησιακές σχέσεις viewtopic.php?f=55&t=3293, όλα μαζί σε ένα τακτοποιημένα!! Οι κανόνες λένε ότι δεν ανοίγουμε νέο θέμα όταν υπάρχει ήδη παλιό! Θα ενημερώσω τους συντονιστές για την απερισκεψία σας! Επιτέλους μάλωσα και εγώ κάποιον!!

Φυσικά και αστειεύομαι αλλά κάποια στιγμή πρέπει να μπει ένα συμμάζεμα στα θέματα-φακέλους, όπως το δωμάτιο μου που το περιποιούμαι μια φορά τον μήνα και μου παίρνει μια ολόκληρη μέρα!

Υ.Γ: Και ο συνήθης λύτης αυτών των ασκήσεων είναι ο Boris!! Όπως ο συχνός θεματοδότης ολοκληρωμάτων (κυρίως βραδινών) είναι ο mathxl, μάλλον θέλει να εκδώσει ένα βιβλίο "Τα ξενυχτισμένα ολοκληρώματα" αν το εκδώσω εγώ θα το ονομάσω "Τα μαύρα μου μεσάνυχτα στα ολοκληρώματα"


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1754
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Εύρεση συνάρτησης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Παρ Νοέμ 02, 2012 12:25 am

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Όπως ο συχνός θεματοδότης ολοκληρωμάτων (κυρίως βραδινών) είναι ο mathxl, μάλλον θέλει να εκδώσει ένα βιβλίο "Τα ξενυχτισμένα ολοκληρώματα" αν το εκδώσω εγώ θα το ονομάσω "Τα μαύρα μου μεσάνυχτα στα ολοκληρώματα"[/size]

:lol: :lol: :lol: Μάκη έγραψες!


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης