Εύρεση συνάρτησης

Συντονιστής: emouroukos

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Εύρεση συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τετ Δεκ 30, 2009 9:32 pm

Να βρεθεί η συνεχής και μη σταθερή συνάρτηση f:R \to R, η οποία έχει την ιδιότητα : για κάθε x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},y_{2},y_{3}\in R με x_{1}+x_{2}+x_{3}=y_{1}+y_{2}+y_{3}=0 ισχύει f(x_{1})+f(x_{2})+f(x_{3})=f(y_{1})+f(y_{2})+f(y_{3})


Σπύρος Καπελλίδης
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Εύρεση συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τετ Δεκ 30, 2009 10:32 pm

Εύκολα βρίσκουμε

f(x+y)+f(-x)+f(-y)=3f(0) (1)

η οποία με y=0 μας δίνει

f(x)+f(-x)=2f(0). (2)

Από (1) και (2) για κάθε \displaystyle{a,b\in \mathbb{R}} παίρνουμε

\displaystyle{f(a+b)=3f(0)-f(-a)-f(-b)=[f(0)+f(a)+f(-a)]-f(-a)-f(-b)=f(a)-f(-b)+f(0)=f(a)+f(b)-f(0)}

Συνεπώς, η συνεχής συνάρτηση \displaystyle{g} που ορίζεται για κάθε πραγματικό x με g(x)=f(x)-f(0) ικανοποιεί την

g(a+b)=g(a)+g(b)

για κάθε \displaystyle{a,b\in \mathbb{R}}.

Άρα g(x)=Ax για κάθε x (A:σταθερά).

Συνεπώς

f(x)=Ax+C,

A,C σταθερές.

Αχιλλέας


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης